Aufgabe

Für den skizzierten Träger mit konstanter Biegesteifigkeit EI ist die Durchbiegung näherungsweise mit dem Differenzenverfahren zu bestimmen.

Gegeben:   a ;  q₀ ;  EI = konstant .

Im Kapitel "Computer-Verfahren für Biegeprobleme" des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird gezeigt, dass sich bei der (sehr groben) Einteilung des Trägers in nur n_A = 4 Abschnitte (nebenstehende Skizze) folgendes Gleichungssystem mit n = 9 unbekannten Vertikalverschiebungen v₁, ... ,v₉ (einschließlich der "Außenpunkte") ergibt:

Bei einer feineren Diskretisierung (größerer Wert für n_A) behält das sich dann vergrößernde Gleichungssystem seine grundsätzliche Struktur bei. In der Koeffizientenmatrix gibt es nur mehr Gleichungen vom "1 -4 6 -4 1"-Typ, im Vektor der rechten Seite ändern sich die Zahlenwerte entsprechend dem geänderten n_A. Insgesamt sind es immer n = n_A+5 Gleichungen.

Lösungsstrategien mit Matlab

Matlab bietet zwar die Möglichkeit, mit "dünn besetzten Matrizen" (sparse matrices) zu operieren, stellt aber für Bandmatrizen kein spezielles Speicherformat bereit. Für das behandelte Beispiel dieser Art lohnt es sich zwar nicht,

• weil moderne PCs auch bei Gleichungssystemen mit mehreren hundert Unbekannten nur Rechenzeiten von wenigen Sekunden benötigen,
• andererseits Matlab die Definition der Matrizen mit minimalem Aufwand ermöglicht,

aber für kompliziertere Probleme, bei denen sich Gleichungssysteme mit mehreren tausend Unbekannten ergeben, sollte man die Bandstruktur der Matrix A (bzw. ihre sehr dünne Besetzung mit von Null verschiedenen Elementen) nutzen.

Hier werden drei Varianten vorgestellt:

• Die "Lösung mit voll besetzter Matrix A" kann als Muster für Probleme mit einer Einteilung des Trägers in einige hundert Abschnitte dienen.
• Die "Lösung mit Matrix A als Sparse Matrix" nutzt das von Matlab unterstützte Speicherformat.
• Die "Lösung unter Ausnutzung der Bandstruktur der Matrix AA" ist der beim Differenzenverfahren für eindimensionale Probleme am weitestens entgegenkommende und damit für große Systeme effektivste Algorithmus. Diese Variante verwendet das Script "gabamp", das sich der Interessent über den angegebenen Link ansehen kann.

Die beiden letztgenannten Varianten sind für beliebig komplizierte Probleme eindeutig zu bevorzugen.

Lösungen