Differenzenverfahren, Bandmatrix in Matlab

Aufgabe

Für den skizzierten Träger mit konstanter Biegesteifigkeit EI ist die Durchbiegung näherungsweise mit dem Differenzenverfahren zu bestimmen.

Gegeben: a ; q₀ ; EI = konstant .

Im Kapitel "Computer-Verfahren für Biegeprobleme" des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird gezeigt, dass sich bei der (sehr groben) Einteilung des Trägers in nur n_A = 4 Abschnitte (nebenstehende Skizze) folgendes Gleichungssystem mit n = 9 unbekannten Vertikalverschiebungen v₁, ... ,v₉ (einschließlich der "Außenpunkte") ergibt:

Bei einer feineren Diskretisierung (größerer Wert für n_A) behält das sich dann vergrößernde Gleichungssystem seine grundsätzliche Struktur bei. In der Koeffizientenmatrix gibt es nur mehr Gleichungen vom "1 -4 6 -4 1"-Typ, im Vektor der rechten Seite ändern sich die Zahlenwerte entsprechend dem geänderten n_A. Insgesamt sind es immer n = n_A+5 Gleichungen.

Demonstration der Bandmatrix-Speicherung

Zunächst wird das Gleichungssystem mit 9 Unbekannten (n_A = 4, 9 Gleichungen mit linker Bandweite ibwl = 4 und rechter Bandweite ibwr = 3) in einem Matlab-Script erzeugt, um die Speicherung der Koeffizientenmatrix als Bandmatrix zu demonstrieren:

%Einstiegsbeispiel Differenzenverfahren, Matrix A
% als Bandmatrix mit IBWL=4 und IBWR=3
% (Hauptdiagonalelemente von A in Spalte 4)

clear all

A = [0 0 0 0 0 1 ; % Matrix A ...
   0 0 0 -1 0 1 ; % ist als ...
   0 1 -4 6 -4 1 ; % Bandmatrix ...
   0 1 -4 6 -4 1 ; % gespeichert, ...
   0 1 -4 6 -4 1 ; % b muss kein ...
   0 1 -4 6 -4 1 ; % Spaltenvektor ...
   0 1 -4 6 -4 1 ; % sein
   -1 2 0 -2 1 0 ;
   1 -2 1 0 0 0] ;

b = [0 0 1/256 1/256 1/256 1/256 1/256 0 0] ;

v = gabamp (A , b , 4)

An die Stelle der 9*9-Matrix tritt die 9*6-Bandmatrix mit den Hauptdiagonalelementen in der 4. Spalte, was gabamp beim Aufruf mitgeteilt werden muss.

Nach dem Abarbeiten des links zu sehenden Scripts S261Band1.m findet man das Ergebnis im "Command Window" (Bild rechts).

Bandmatrix-Speicherung für beliebig große Matrizen

Das folgende Script S261Band2.m zeigt die Definition des beliebig großen Gleichungssystems in den wenigen hellblauen Zeilen. Die Möglichkeit unterschiedlich feiner Unterteilung des Trägers wird nur über die Angabe des Wertes für nA (in der weißen Zeile am Anfang) gesteuert.

% Differenzenverfahren, Einstiegsbeispiel,
% Ausnutzung der Bandstruktur der Koeffizientenmatrix

clear all

L = 1 ;
q0 = 1 ;
EI = 1 ;
nA = 1000 ; % Anzahl der Abschnitte (nur dieser Wert muss geaendert werden)
n = nA + 5 ; % Anzahl der Gleichungen
h = L / nA ;

hdsp = 4 ; % Hauptdiagonalelemente stehen in der 4. Spalte der Bandmatrix A

A = zeros (n,7) ; % Nullmatrix fuer Aufnahme der Bandmatrix
b = zeros (n,1) ; % Nullvektor

A(1:2,:) = [ 0 0 0 0 0 1 0 ;
   0 0 0 -1 0 1 0 ] ; % Randbedingungen links: Einspannung
A(n-1:n,:) = [-1 2 0 -2 1 0 0 ;
   1 -2 1 0 0 0 0 ] ; % Randbedingungen rechts: Freier Rand

for i = 3:n-2
   A(i,:) = [0 1 -4 6 -4 1 0] ; % Standardgleichungen
   b(i) = q0*h^4/EI ;
end

% Lösen des Gleichungssystems
tic ;
v = gabamp (A , b , hdsp) ; % Berechnung der Durchsenkung
toc ;

format long
vEnd = v(n-2)
phiEnd = (-v(nA+2) + v(nA+4)) / (2*h)
Mblinks = -EI/h^2 * (v(2) - 2*v(3) + v(4))

for i = 3:n-2
   Mb(i) = - EI/h^2 * (v(i-1) - 2*v(i) + v(i+1)) ;
end

z = 0 : h : L ;
subplot (2 , 1 , 1) ; plot (z , v (3:n-2)) , axis ij , title ('Verschiebung')
subplot (2 , 1 , 2) ; plot (z , Mb(3:n-2)) , title ('Biegemoment')

Nach der Lösung des Gleichungssystems mit dem Script gabamp werden mit den Zeilen, die nicht mit einem Semikolon abgeschlossen sind, vier Ergebnisse in das "Command Window" ausgegeben: Neben der für die Lösung des Gleichungssystems benötigten Zeit die Verschiebung am Trägerende und der Biegewinkel an dieser Stelle, der mit Hilfe der Differenzenformel für die erste Ableitung aus den Verschiebungen der beiden Nachbarpunkte berechnet wird, sowie das auf entsprechende Weise mit der Näherung der zweiten Ableitung berechnete Biegemoment an der Einspannung. Schließlich wird in einer Schleife der gesamte Biegemomentenverlauf berechnet, und Durchbiegung und Biegemomentenverlauf werden in ein Graphik-Fenster gezeichnet. Für die oben gelistete Datei (mit nA = 1000, Gleichungssystem mit 1005 Gleichungen) sehen nach der Berechnng das "Command Window" und das Graphik-Fenster so aus:

Um die Aufgabe für unterschiedlich feine Diskretisierung zu berechnen, muss in der oben gelisteten m-Datei jeweils nur der Wert für nA geändert werden.