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Aufgabe

Über zwei feste drehbare Rollen verbindet ein Seil die Massen m₁ und m₂. Zwischen beiden Massen befindet sich ein Körper mit der Masse m₃. Die Masse des Seils kann vernachlässigt werden.

Gegeben:  m₁, m₂ und m₃.

Gesucht:

a)  Kraft F_S im Seil,

b)  Kräfte F_N13 und F_N23 zwischen den Massen,

c)  Bedingung dafür, dass sich die dargestellte Gleichgewichtslage einstellen kann.

Lösung zu a)

• Zunächst werden die "eingeprägten Kräfte" eingezeichnt. Dies sind die Gewichtskräfte der drei Massen, die jeweils im Schwerpunkt der Massen anzutragen sind (auch für die Masse m₂, deren Schwerpunkt "in der Luft" liegt). Alle eingeprägten Kräfte liegen auf einer Wirkungslinie und dürfen auf dieser verschoben werden. Klicken auf den gelben "⇒"-Button zeigt die Kräfte.
• Um die Seilkraft berechnen zu können, muss das System der drei Massen von äußeren Bindungen gelöst werden. Dafür sind zwei Schnitte erforderlich (Klicken auf den "⇒"-Button).
• Durch die beiden Schnitte zerfällt das System in zwei Teilsysteme, an den Schnittstellen sind jeweils die Schnittkräfte (hier: Seilkräfte) anzutragen, an den beiden Schnittufern gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet (Klicken auf den "⇒"-Button). Das rechts gezeichnete System II aus Rollen und Seil ist noch "mit der Außenwelt verbunden". An ihm wird nur deutlich, dass die Seilkraft über die Rollen nur umgelenkt wird und damit an beiden Seilenden in gleicher Größe auftaucht (siehe hierzu auch: "Das Problem mit der Rolle").
• Das links gezeichnete System I ist von äußeren Bindungen völlig befreit, und alle an ihm zu berücksichtigenden Kräfte sind sichtbar. Es kann nur im Gleichgewicht sein, wenn die Summe der beiden nach oben gerichteten Seilkräfte gleich der Summe der drei Gewichtskräfte der Massen ist:

Man beachte: Die zwischen den Massen wirkenden Kräfte sind in diese Rechnung nicht eingegangen. Weil sie dort paarweise (gleich groß und entgegengesetzt gerichtet) wirken, heben sich ihre Wirkungen auf. Erst durch einen Schnitt werden die paarweise wirkenden Kräfte jeweils einem Teilsystem zugeordnet und gehen in die Gleichgewichtsbetrachtungen des Teilsystems ein.

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Lösung zu b)

• Um die Kräfte zu berechnen, die zwischen den Massen wirken, müssen sie durch weitere Schnitte sichtbar gemacht werden. Betrachtet wird jetzt nur noch das von äußeren Bindungen bereits gelöste System I (nebenstehende Skizze).
• Zunächst wird ein Schnitt 3 gelegt, der die beiden Massen m₁ und m₃ vom Rahmen m₂ trennt (Klicken auf den "⇒"-Button zeigt den Schnitt).
• Das System zerfällt in zwei Teilsysteme, an der Schnittstelle wird an beiden Teilsystemen die Schnittkraft F_N23 angetragen. Nach Klick auf den "⇒"-Button sieht man die beiden Teilsysteme, an denen jeweils nur die Schnittkraft F_N23 unbekannt ist. Am links gezeichneten System III muss diese der Differenz aus der Summe der Gewichtskräfte von m₁ und m₃ und der Seilkraft das Gleichgewicht halten, im rechts gezeichneten System IV muss F_N23 gleich der Differenz aus Seilkraft und Gewichtskraft von m₂ sein. Beide Teilsysteme liefern das gleiche Ergebnis, z. B. am System IV:

• Für die Berechnung der Kraft zwischen den Massen m₁ und m₃ muss ein weiterer Schnitt gelegt werden. Betrachtet wird das System III, das durch den Schnitt 4 zerlegt wird (Klicken auf den "⇒"-Button zeigt den Schnitt).
• Das System III zerfällt in zwei Teilsysteme, an der Schnittstelle wird an beiden Teilsystemen die Schnittkraft F_N13 angetragen. Nach Klick auf den "⇒"-Button sieht man die beiden Teilsysteme, an denen jeweils nur die Schnittkraft F_N13 unbekannt ist. Am oben gezeichneten System V muss diese der Differenz aus der Gewichtskraft von m₁ und der Seilkraft das Gleichgewicht halten, im darunter gezeichneten System VI muss F_N13 gleich der Differenz aus F_N23Seilkraft und der Gewichtskraft von m₃ sein. Beide Teilsysteme liefern das gleiche Ergebnis, z. B. am System V:

Lösung zu c)

Prinzipiell darf der Richtungssinn unbekannter Kräfte in der Statik willkürlich gewählt werden. Eine falsche Annahme wird automatisch durch ein Minuszeichen im Ergebnis korrigiert.

Von der Freiheit der Wahl eines beliebigen Richtungssinns sollte man jedoch in folgenden Fällen keinen Gebrauch machen:

• Seilkräfte sollten grundsätzlich als Zugkräfte angetragen werden, weil Seile keine Druckkräfte aufnehmen können. Hier würde ein Minuszeichen im Ergebnis auf einen Fehler bei der Berechnung oder ein nicht tragfähiges System hinweisen.
• Kräfte zwischen einer Masse und einer Unterlage sollten grundsätzlich als Druckkräfte angetragen werden, weil die Massen bei Zugkräften abheben würden, es sei denn, sie sind mit der Unterlage fest verbunden (verschraubt, verklebt, ...).

Diese Regeln wurden bei der hier demonstrierten Rechnung strikt eingehalten. Das Ergebnis für die Seilkraft ist in jedem Fall positiv. Die Ergebnisse für die beiden Kräfte F_N13 und F_N23 jedoch nur, wenn der in der Klammer stehende Ausdruck nicht negativ wird. Kritisch ist die Stelle zwischen den Massen m₁ und m₃. Die Kraft F_N13 zwischen diesen Massen ist nur positiv, wenn

gilt (bei Erfüllung dieser Bedingung ist auch F_N23 garantiert positiv).