Aufgabe

Das nebenstehende Bild zeigt eine handelsübliche Gripzange. Die Zange ist durch die beiden Kräfte F belastet. Zu bestimmen ist für die in der Darstellung angegebenen Abmessungen die Kraft F_W, die auf das Werkstück aufgebracht wird.

Gegeben: F.

Für dieses Beispiel werden auf der Seite "Gripzange" 5 verschiedene Lösungswege diskutiert. Eine Besonderheit der Aufgabe besteht darin, dass das System nicht gelagert ist, die angreifende Belastung aber ein Gleichgewichtssystem bildet.

Lösung

Die Zange wird in vier Teilsysteme zerlegt. Nebenstehend sieht man die Schnittskizze mit allen wirkenden Kräften, darunter 9 unbekannte Kräfte an den Schnittstellen. Wenn man an jedem Teilsystem 3 Gleichgewichtsbedingungen formuliert, hat man 12 Gleichungen für nur 9 Unbekannte. Für die Handrechnung wäre dies kein Problem (man nimmt jeweils die Gleichungen, die sich bei fortschreitender Rechnung als günstig erweisen). Für die Computer-Rechnung muss man vorab entscheiden, welche Gleichungen verwendet werden sollen, was bei falscher Auswahl auf ein nicht lösbares Gleichungssystem (singuläre Koeffizientenmatrix) führen kann.

Naheliegend ist zum Beispiel, drei der immer etwas schwieriger zu formulierenden Momenten-Gleichgewichtsbedingungen wegzulassen. Wenn man an allen Teilsystemen die Kraft-Gleichgewichtsbedingungen in horizontaler und vertikaler Richtung aufschreibt und zusätzlich die relativ einfache Momenten-Gleichgewichtsbedingung am Teilsystem II, erhält man folgendes Gleichungssystem mit 9 Gleichungen und 9 Unbekannten:

Der Versuch, dieses Gleichungssystem mit dem Programm "Lineares Gleichungssystem, Matrixinversion" (zu finden unter "TM-interaktiv") zu lösen, liefert folgendes Ergebnis:

Diese Auswahl der Gleichgewichtsbedingungen liefert also kein lösbares Gleichungssystem. Anders sieht es aus, wenn man alle Gleichgewichtsbedingungen eines Teilsystems weglässt. Bei Verzicht auf die Gleichgewichtsbedingungen des Teilsystems IV ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

Nachfolgend sieht man die Lösung dieses Gleichungssystems mit dem Programm "Lineares Gleichungssystem, Matrixinversion":

Man erhält das korrekte Ergebnis, das im Lehrbuch mit viel weniger (allerdings sehr sorgfältig ausgewählten) Gleichungen per Handrechnung gefunden wurde.