Aufgabe

Das nebenstehende Bild zeigt eine handelsübliche Gripzange. Die Zange ist durch die beiden Kräfte F belastet. Zu bestimmen ist für die in der Darstellung angegebenen Abmessungen die Kraft F_W, die auf das Werkstück aufgebracht wird.

Gegeben: F.

An diesem recht anschaulichen (und nicht ganz einfachen) Beispiel für ein statisch bestimmtes System starrer Körper wird im Lehrbuch "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" einerseits erläutert, wie man durch besonders geschickte Auswahl der Gleichgewichtsbedingungen mit erträglichem Aufwand zur Lösung kommt, andererseits wird diskutiert, dass man natürlich immer (auch dann, wenn der "geniale Einfall" ausbleibt) mit Konsequenz unter Inkaufnahme von Mehraufwand (der dem Computer übertragen werden sollte) zum Ziel kommt.

Eine Besonderheit der Aufgabe besteht darin, dass das System nicht gelagert ist, die angreifende Belastung aber ein Gleichgewichtssystem bildet.

Lösungs-Varianten

Die Zange wird in vier Teilsysteme zerlegt. Nebenstehend sieht man die Schnittskizze mit allen wirkenden Kräften, darunter 9 unbekannte Kräfte an den Schnittstellen. Folgende Lösungsvarianten bieten sich an:

• "Geschickte Auswahl": Durch "geschickte Auswahl" der Gleichgewichtsbedingungen (Momenten-Gleichgewicht um Gelenk 3 am Teilsystem I, Kräfte-Gleichgewicht in vertikaler Richtung und Momenten-Gleichgewicht um Gelenk 1 am Teilsystem II und Momenten-Gleichgewicht um Gelenk 4 am Teilsystem III) gelingt es, ein Gleichungssystem mit nur 4 Gleichungen und 4 Unbekannten zu formulieren. Dieser Weg wird im Lehrbuch demonstriert.
• Teilsystem II ist ein "Stab": Die Schnittskizze berücksichtigt nicht, dass Teilsystem II ein "Stab" ist, der nur Kräfte in seiner Längsrichtung übertragen. Bei Ausnutzung dieser Eigenschaft gelingt es, mit nur zwei Gleichgewichtsbdingungen zur Lösung zu kommen. Auch dieser Weg wird im Lehrbuch demonstriert.
• 9 Gleichungen mit 9 Unbekannten: Die komplette Auswertung der Gleichgewichtsbedingungen, die man entsprechend nebenstehender Schnittskizze formulieren kann, muss folgendes Problem berücksichtigen: Wenn man an jedem Teilsystem 3 Gleichgewichtsbedingungen formuliert, hat man 12 Gleichungen für nur 9 Unbekannte. Für die Handrechnung wäre dies kein Problem (man nimmt jeweils die Gleichungen, die sich bei fortschreitender Rechnung als günstig erweisen). Für die Computer-Rechnung muss man vorab entscheiden, welche Gleichungen verwendet werden sollen, was bei falscher Auswahl auf ein nicht lösbares Gleichungssystem (singuläre Koeffizientenmatrix) führen kann. Diese Lösungsvariante wird auf der Seite "Gripzange, Lösung mit 9 Gleichgewichtsbedingungen" behandelt.

• 12 Gleichungen mit 12 Unbekannten: Um das vorgenannte Problem zu umgehen, bietet sich folgende Alternative an (nebenstehende Skizze): Die Gegenkraft am unteren Griff wird durch eine starre Einspannung ersetzt. Die drei Lagerreaktionen werden als zusätzliche "Unbekannte" betrachtet, deren Ergebnisse bekannt sind (Kontrollmöglichkeit!). Diese Lösungsvariante wird auf der Seite "Gripzange, Lösung mit 12 Gleichungen mit 12 Unbekannten" behandelt.
• 12 Gleichungen mit 9 Unbekannten (Ausgleichsrechnung): Alternativ dazu kann man auch auf der Basis der oben zu sehenden Schnittskizze für 9 Unbekannte 12 Gleichgewichtsbedingungen formulieren. Ein solches überbestimmtes Gleichungssystem muss man dann mit einer Software lösen, die dies nach den Prinzipien der Ausgleichsrechnung erledigt. Da die Gleichungen (im Gegensatz zu einem typischen System der Ausgleichsrechnung) keine Widersprüche enthalten dürfen, kann man durch Weglassen einzelner Gleichungen und entsprechende zusätzliche Rechnungen recht wirkungsvoll die Korrektheit der Gleichgewichtsbedingungen überprüfen. Diese Lösungsvariante wird auf der Seite 12 Gleichgewichtsbedingungen für 9 unbekannte Kräfte behandelt.