Doppelpendel mit großen Ausschlägen
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Doppelpendel

Aufgabe


Ein Doppelpendel wird definiert durch die beiden Pendelmassen m1 und m2, die auf die jeweiligen Schwerpunkte bezogenen Massenträgheitsmomente JS1 und JS2, die Schwerpunktabstände von den Drehpunkten s1 und s2 und den Abstand l1 der beiden Drehpunkte voneinander.

Die Bewegung soll durch die Funktionen φ1(t) und φ2(t) beschrieben werden, die für das Zeitintervall t = 0 ... 10 s zu berechnen sind.

Doppelpendel, gegebene Größen

Die Aufgabe wird in den Kapiteln "Prinzipien der Mechanik" und "Verifizieren von Computerrechnungen" behandelt.

Doppelpendel, Anfangsauslenkung

Die gegebenen Werte gelten für zwei schlanke Stäbe gleicher Masse und gleicher Länge. Sie sollen aus der nebenstehend skizzierten Anfangslage ohne Anfangsgeschwindigkeiten freigelassen werden, so dass folgende Anfangsbedingungen gelten:

Doppelpendel, Anfangsbedingungen

Bewegungs-Differenzialgleichungen

Unter Verwendung der in der Aufgabenstellung skizzierten Koordinaten gelten folgende Bewegungs-Differenzialgleichungen (die ausführlich kommentierte Herleitung findet man im Kapitel "Prinzipien der Mechanik"):

Bewegungs-Differenzialgleichungssystem für das Doppelpendel

Dieses Differenzialgleichungssystem ist hochgradig nichtlinear und in den Beschleunigungsgliedern gekoppelt. Die Lösung kann nur numerisch gelingen.

Numerische Lösung, Verifizieren der Ergebnisse

Entsprechend den im Kapitel "Verifizieren von Computerrechnungen" gegebenen Empfehlungen wird das Problem mit unterschiedlichen Software-Produkten gelöst. Die Genauigkeit der numerischen Berechnungen wird auf zwei Wegen überprüft: Mehrfachrechnungen mit verschiedenen Schrittweiten (trotz Verwendung eines Algorithmus mit automatischer Schrittweitensteuerung) geben ein Gefühl dafür, ob die Schrittweitenwahl sinnvoll ist, und das Erzeugen einer Kontrollfunktion überprüft die gesamte Rechnung vom Berechnungsmodell bis zur Lösung. Schließlich wird mit einer Animation versucht, ein Gefühl dafür zu erzeugen, ob das berechnete Bewegungsgesetz sinnvoll sein kann, was allerdings bei dieser chaotischen Bewegung nur sehr bedingt gelingt.

Ergebnisse

Alle oben beschriebenen Rechnungen liefern die nachfolgend zu sehenden Bewegungsgesetze:

Bewegungsvaerlauf des Doppelpendels
Doppelpendel

Die recht bizarren Funktionsverläufe spiegeln den tatsächlich außerordentlich komplizierten Bewegungsablauf eines solchen Doppelpendels wider. Während das obere Pendel eine recht unregelmäßige Schwingung ausführt, beginnt das untere Pendel mit einem "Salto", dem bald darauf ein "Salto rückwärts" folgt.

Die nebenstehend zu sehende Animation zeigt genau diese Bewegung für den untersuchten Zeitbereich.