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Aufgabe

Ein konstantes Antriebsmoment M_A an einer Scheibe mit dem auf den Drehpunkt bezogenen Massenträgheitsmoment J₁ hebt die Massen m₂ (zylindrische Rolle) und m₃, die durch einen masselosen starren Stab verbunden sind.

Gesucht: Kräfte im Seil, Stabkraft und Lagerreaktionen bei A während der Bewegung.

Lösung

Weil die Kräfte im System gefragt sind, bietet sich die Lösung nach dem Prinzip von d'Alembert an. Das System wird gleich so geschnitten, dass alle gesuchten Kräfte sichtbar sind.

• Zunächst werden die Koordinaten definiert, mit denen die Bewegung verfolgt wird. Das System wird in einer ausgelenkten Lage gezeichnet. Klicken auf den gelben "⇒"-Button zeigt die beiden Winkelkoordinaten φ₁ und φ₂, die die Drehbewegungen der Massen 1 bzw. 2 verfolgen und die beiden Koordinaten x₂ und x₃ für die Aufwärtsbewegung der Massen 2 bzw. 3 (alle Koordinaten wurden so gewählt, dass sie gleichzeitig positiv werden).
• Die Koordinaten sind nicht unabhängig voneinander. Es müssen die Zwangsbedingungen

  

  erfüllt sein. Weil das System nur einen Freiheitsgrad hat, lassen sich alle Koordinaten durch eine ausdrücken. Dafür wird x₃ gewählt:

  

• Um das System von äußeren Bindungen zu lösen und alle gesuchten Kräfte sichtbar zu machen, müssen 3 Schnitte gelegt werden (Klicken auf den gelben "⇒"-Button): Schnitt 1 trennt die Antriebsscheibe vom Lager, Schnitt 2 schneidet das Seil doppelt und Schnitt 3 zerschneidet den Stab.
• Durch die Schnitte zerfällt das System in 5 Teilsysteme (Klicken auf den gelben "⇒"-Button). Die Teilsysteme IV und V haben noch eine Verbindung zur Außenwelt und werden nicht weiter betrachtet. Die Teilsysteme I, II und III sind von äußeren Bindungen völlig befreit und damit für das Aufschreiben von Gleichgewichtsbedingungen zugelassen, nachdem sämtliche an ihnen wirkenden Kräfte und Momente angetragen wurden:
• Eingeprägte Kräfte und Momente: Dies sind neben dem Antriebsmoment M_A die Gewichtskräfte der drei Massen (schwarze Pfeile).
• d'Alembertsche Kräfte und Momente: Für alle bewegten und sich drehenden Massen muss eine d'Alembertsche Kraft (Masse 3) bzw. ein d'Alembertsches Moment (Masse 1) oder beides (Masse 2) angetragen werden. Diese sind grundsätzlich entgegen der Richtung der zugehörigen Bewegungskoordinate gerichtet (blaue Pfeile).
• Schnittkräfte: An den Schnittstellen sind die Schnittkräfte (hier: Seilkräfte, Stabkräfte und Lagerreaktionen) anzutragen, an den beiden Schnittufern jeweils gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet (Hohlpfeile).
• Am Teilsystem I können drei Gleichgewichtsbedingungen formuliert werden, am Teilsystem II nur zwei (es gibt keine Horizontalkräfte) und am Teilsystem III sogar nur eine (nur vertikale Kräfte auf nur einer Wirkungslinie), zum Beispiel:

  

  Die oben aufgeschriebenen Zwangsbedingungen wurden bereits berücksichtigt, so dass es ein Gleichungssytem mit 6 Gleichungen und 6 Unbekannten ist (5 Schnittkräfte und die Beschleunigung der Masse 3). Das Gleichungssystem ist nicht ganz so unangenehm, wie es zunächst aussieht, denn die letzten 4 Gleichungen enthalten genau 4 Unbekannte. Dies lässt sich mit erträglichem Aufwand "von Hand" lösen. In die nachfolgend angegebenen Ergebnisse sind bereits das Massenträgheitsmoment der zylindrischen Scheibe 2 als J₂ = ½m₂r₂² und die in der Aufgabenstellung gegebenen Beziehungen eingeflossen: