Aufgabe

Ein Gleitstein mit der Masse m kann auf einer vertikalen Führung reibungsfrei gleiten. Er ist durch eine (lineare) Feder gefesselt, die im entspannten Zustand die Länge b hat. Der Gleitstein wird um x_anf ausgelenkt und zum Zeitpunkt t = 0 ohne Anfangsgeschwindigkeit freigelassen.

Für das Intervall 0 ≤ t ≤ 20s sollen die Bewegungsgesetze x(t) für die Anfangsauslenkungen

ermittelt werden.

Auf der Seite "Gleitstein, mit Feder gefesselt" wird gezeigt, dass mit der dimensionslosen Bewegungskoordinate x = x/a die Bewegung mit folgendem Anfangswertproblem beschrieben wird:

Lösung mit dem Programm "Anfangswertproblem" unter TM-interaktiv

Nach dem Start des Programms "Anfangswertproblem" werden zunächst die gegebenen Werte über das Feld links oben als Konstanten definiert. Es werden "sprechende Bezeichnungen" gewählt, z. B cadmg für "ca durch mg". Rechts sieht man, dass neben den vordefinierten Konstanten pi und e bereits cadmg, bda und gda definiert wurden. Die Konstante xanf steht schon mit ihrem Namen und ihrem ersten Wert in den gelben Eingabefeldern. Nach Klick auf den Button "Neue Konstante" ist auch diese Konstante definiert.

Der Integrationsbereich wird entsprechend der Aufgabenstellung geändert (Wert für t_end):

Nun können die Differenzialgleichungen einschließlich der zugehörigen Anfangsbedingungen eingegeben werden. Die Eingabe wird unterhalb des Eingabebereichs automatisch protokolliert. Der folgende Bildschirm-Ausschnitt zeigt im unteren Teil das komplette Anfangswertproblem, im Eingabebereich darüber sieht man noch die zuletzt eingegebenen Differenzialgleichung:

Der Aufforderung, vor der eigentlichen Rechnung einen Syntaxcheck durchzu führen, sollte man nachkommen, der Protokollbereich wird dann folgendermaßen ergänzt:

Nun wird der Button "Berechnung starten" angeklickt. Die Ergebnisse werden grafisch in einem Fenster dargestellt. Diese Darstellung kann über das rechts zu sehende Menü (befindet sich unterhalb der Grafik) geändert werden.

Hier wurden zwei Fenster gewählt, in denen jeweils eine Kurve gezeichnet werden soll, und die Rasterlinien wurden etwas großzügiger eingestellt.

Nach Klick auf "Zeichnung erneuern" sieht die Grafik so aus:

Die Bewegung beginnt bei x = −8 "genügend weit oben", so dass sich eine "fast normale Schwingung" ergibt. Nur die kleinen "Zacken" im Geschwindigkeitsdiagramm deuten an, dass die Masse sich auf ihrem Weg nach unten und oben am Lager bei stark zusammengedrückter Feder "vorbeidrängeln" muss.

Bei einem Fall aus der geringeren Höhe x = −4,493 gelingt es der Masse gerade noch, sich an dem Lager "vorbeizudrängeln". Die Geschwindigkeit wird vorübergehend sehr klein, bis der Punkt der am stärksten zusammengedrückten Feder passiert ist. Die modifizierte Rechnung wird so realisiert: In den gelben Eingabebereichen (links oben bei "Definierte Konstanten") wird xqanf noch einmal (mit dem geänderten Wert) definiert. Nachfolgendd ist das links zu sehen (unmittelbar vor dem Klick auf "Neue Konstante"). Nach Klicken auf "Neue Konstante" wird der alte Wert überschrieben, und mit Klick auf "Berechnung starten" wird das Anfangswertproblem erneut gelöst:

Bei einem Fall aus der nur unwesentlich geringeren Höhe x = −4,492 gelingt es der Masse nicht mehr, sich an dem Lager "vorbeizudrängeln". Sie führt eine Schwingung oberhalb des Punktes der maximalen Zusammendrückung der Feder aus (ausschließlich im Bereich negativer x-Werte):

Einfluss der Schrittweite auf die Ergebnisse

In dem verwendeten Programm ist eine Einteilung des Integrationsintervalls in 500 Integrationsschritte als Standardwert voreingestellt. Für das aktuelle Problem wurde als mit einer Schrittweite Δt = 20/500 s = 0,04 s gerechnet. Ob dies ausreichend ist, sollte in jedem Fall überprüft werden. Die einfachste Art der Kontrolle ist die Rechnung mit verschiedenen Schrittweiten.

Dies soll hier an der Variante mit der Anfangsbedingung x = −4,493 demonstriert werden. Nachfolgend sieht man noch einmal das Ergebnis für n_steps = 500:

Oberhalb der Grafik sieht man eine Tabelle mit den Funktionswerten am Ende des Integrationsintervalls. Bei weiteren Rechnungen wird diese Tabelle fortgeschrieben, so dass man ein sehr schönes Indiz für die Qualität der Rechnung hat. Nach einigen weiteren Rechnungen mit jeweils geändertem n_steps sieht es so aus:

Man sieht, dass die Rechnung mit der Standardeinstellung noch deutliche Abweichungen zeigt, bei n_steps = 1000 werden schon Werte erreicht, die sich bei weiterer Verfeinerung der Schrittweite nicht mehr nennenswert ändern: "Die Rechnung ist gesund".

Es ist aber auch sichtbar, dass bei einem größeren Integrationsintervall mit der Standardeinstellung sicher keine brauchbaren Ergebnisse mehr erzielt werden. Das soll deutlich gemacht werden, indem für das hier berechnete Integrationsintervall die Rechnung noch einmal mit einer gegenüber der Standardeinstellung halbierten Schrittanzahl n_steps = 250 gerechnet wird:

Hier kann man sogar der Grafik entnehmen, dass das Ergebnis falsch ist. Weil keine Reibung berücksichtigt wird (es gibt keine Energieverluste), muss sich eine Schwingung ergeben, die identische Verläufe über alle Schwingungsperioden hat. Schon die zweite Periode hat hier (infolge der Verfahrensfehler der numerischen Integration) einen ganz anderen Verlauf.