Einstiegsbeispiel zum Differenzenverfahren mit TM-interaktiv

Aufgabe

Beispiel 1

Für den skizzierten Träger mit konstanter Biegesteifigkeit EI ist die Durchbiegung näherungsweise mit dem Differenzenverfahren zu bestimmen.

Gegeben:   a ;  q0 ;  EI = konstant .

Einteilung in 4 Abschnitte

Im Kapitel "Computer-Verfahren für Biegeprobleme" des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird gezeigt, dass sich bei der (sehr groben) Einteilung des Trägers in nur nA = 4 Abschnitte (nebenstehende Skizze) folgendes Gleichungssystem mit n = 9 unbekannten Vertikalverschiebungen v1, ... ,v9 (einschließlich der "Außenpunkte") ergibt:

Bei einer feineren Diskretisierung (größerer Wert für nA) behält das sich dann vergrößernde Gleichungssystem seine grundsätzliche Struktur bei. In der Koeffizientenmatrix gibt es nur mehr Gleichungen vom "1 -4 6 -4 1"-Typ, im Vektor der rechten Seite ändern sich die Zahlenwerte entsprechend dem geänderten nA. Insgesamt sind es immer n = nA+5 Gleichungen.

Lösung

Weil bei Aufgaben dieser Art immer gleich daran gedacht werden sollte, Anschlussrechnungen mit feinerer Diskretisierung durchzuführen, wird nach dem Start des Programms Lineares Gleichungssystem mit Bandmatrix zunächst nA als Konstante nA definiert. Ihr wird der Wert 4 zugewiesen. Der nebenstehende Bildschirm-Ausschnitt zeigt dies unmittelbar vor dem Klicken auf den Button "Neue Konstante".

Die gerade definierte Konstante wird verwendet, um die Anzahl der Gleichungen als n = nA+5 festzulegen:

Es ist sinnvoll, die voreingestellten Bandweiten beizubehalten, obwohl in diesem Fall bwr = 3 ausreichend wäre. Bei eventuell beabsichtigten Variantenrechnungen (mit geänderten Randbedingungen) könnten diese Bandweiten erforderlich werden. Nach Anklicken des "OK"-Buttons ändert sich das Eingabeschema entsprechend, und das Gleichungssystem kann eingegeben werden. Für Aufgaben dieser Art ist eine effektive Unterstützung vorgesehen. Nach Anklicken des Buttons "Automatischer Aufbau des Bandes" wird folgende Offerte unterbreitet:

Dieses Angebot entspricht exakt dem Aufbau der entsprechenden Gleichungen des behandelten Problems und kann mit Klick auf den Button "Werte übernehmen" angenommen werden. Im Eingabeschema füllen sich die Zeilen 3 bis 7. Nach Anklicken des Buttons "Automatischer Aufbau der rechten Seite" wird folgende Offerte unterbreitet:

Hier muss die 1 im Eingabefeld durch 1/nA^4 ersetzt werden, danach kann der Button "Werte übernehmen" angeklickt werden. Nun müssen nur noch die Werte in den beiden ersten und den beiden letzten Zeilen der Matrix im Eingabeschema "von Hand" eingetragen werden. Das komplett ausgefüllte Eingabeschema sollte schließlich so aussehen:

Nach Anklicken von "Gleichungssystem lösen" erscheint das Ergebnis:

Das Angebot, die Rechnung mit einer geänderten Anzahl von Gleichungen zu wiederholen, ist mit minimalem Aufwand zu realisieren. Weil der Wert für die Konstante nA dafür ohnehin geändert werden muss (kommt in den Ausdrücken auf der rechten Seite vor), gibt man diese Konstante im Eingabefeld links oben einfach noch einmal (mit dem geänderten Wert) ein. Danach werden durch Klick auf den Button "Neue Rechnung starten" folgende Aktionen ausgelöst:

Rechts sieht man das Ergebnis für nA = 20. Als Referenz für die Genauigkeit der Approximation mag die Absenkung des rechten Randpunkts gelten (dies ist immer der drittletzte Wert im Ergebnisvektor, weil noch zwei "Außenpunkte" folgen). Die exakte Lösung ist bekannt: 0,125. Bei der Einteilung des Trägers in vier Abschnitte gab es mit 0,1328125 noch eine deutliche Abweichung vom exakten Wert, bei der Einteilung des Trägers in 20 Abschnitte ist der Fehler des Wertes 0,1253125 schon bei nur noch 0,125%, und es spricht nichts dagegen, die Rechnung mit wesentlich feinerer Diskretisierung zu wiederholen.

Bei großen Gleichungssystemen (schon bei 25 Unbekannten wie im modifizierten Beispiel) wird im Eingabeschema immer nur ein Ausschnitt des Systems gezeigt. Man kann diesen Ausschnitt über die Offerte unmittelbar über dem Eingabeschema ändern:

Es kann ein beliebiger Ausschnitt gewählt werden, gegebenenfalls auch das gesamte System. Dann reicht die Bildschirmfläche in der Regel nicht mehr aus, und es muss in beiden Richtungen gescrollt werden.