Aufgabe 32-9, Ritz


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Die Ansatzfunktionen müssen die drei geometrischen Randbedingungen erfüllen (l = a + b):

Das einfachste Polynom, das diese Bedingungen erfüllt, ist das Polynom 3. Grades

Man überzeugt sich leicht, dass auch die höheren Polynomfunktionen

die geometrischen Randbedingungen erfüllen.

Das nachfolgend gelistete Matlab-Script arbeitet mit maximal 5 Ansatzfunktionen dieser Art (i = 1 ... 5). Es ist so geschrieben und wird nachfolgend entsprechend kommentiert, dass es als Muster-Script für entsprechende andere Aufgaben dienen kann.

Alle gelb eingetragen Zeilen können und sollten für die Lösung anderer Aufgaben unverändert übernommen werden. Zwingend ist nur die Anpassung der drei hellblau geschriebenen Bereiche, die von den Kommentarzeilen der Art

% 11111111111 ANPASSEN AN DAS AKTUELLE PROBLEM VON HIER ... 111111111111111111111111111
...
% 11111111111 ... BIS HIER 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

umschlossen sind. Eine Änderung der grün geschriebene Zeilen kann gegebenenfalls vorgenommen werden, ist aber nicht zwingend.

Im ersten anzupassenden Bereich werden zunächst die Zahlenwerte der Problemparameter definiert (Trägerlänge, Elastizitätsmodul, ...). Dabei ist darauf zu achten, dass für alle Größen einheitliche Dimensionen gewählt werden, nachdrückliche Empfehlung (vgl. Skript "Biegeschwingungen gerader Träger"): Man verwende ausschließlich die Dimensionen m, kg und N (dann erhält man die Eigenfrequenzen in der Dimension s^-1).
Danach werden die Ritzschen Ansatzfunktionen (die oben beschriebenen Polynome) definiert. Das Script wurde für fünf Funktionen eingerichtet, was für die meisten Aufgabenstellungen ausreichend sein dürfte. Wenn weniger Funktionen verwendet werden sollen, kann dies durch die Variable m gesteuert werden. Wenn z. B. m = 3 gesetzt wird, werden nur die ersten drei Ansatzfunktionen verwendet, die übrigen müssen aber formal im Script erhalten bleiben werden.

In dem nach der Definition der Ansatzfunktionen folgenden Abschnitt werden die später benötigten ersten und zweiten Ableitungen der Ansatzfunktionen mit der Matlab-Function polyder berechnet. Diese Zeilen sollten nicht geändert werden.
Die Auswertung der Integrale für das Erzeugen der Elemente des aufzubauenden linearen Gleichungssystems erfolgt numerisch nach der Simpsonschen Regel (siehe "Einfache Formeln für die numerische Integration"). Die Anzahl der dafür erforderlichen Abschnitte wird mit der Variablen n festgelegt. Im vorliegenden Script gilt n = 100 (damit ergeben sich nS = n+1 Stützstellen für die Integration). Dieser Wert kann gegebenenfalls verändert werden (Bedingung ist ein geradzahliger Wert), dürfte aber in der Regel ausreichend sein.

Die Integrationsfomeln benötigen zur Berechnung der Werte für die Integranden die Funktionswerte der Biegesteifigkeit EI und der Massebelegung ρA für alle nS Stützstellen. Im zweiten anzupassenden Bereich werden dafür die beiden Vektoren EIS bzw. rhoAS aufgebaut. Außerdem wird vorbereitend für spätere Verwendung die Nummer des Punktes kM berechnet, an dem sich die Einzelmasse befindet.

Im Anschluss an diesen Bereich werden die Funktionswerte der Ansatzfunktionen und deren Ableitungen für alle Stützstellen mit der Matlab-Function polyval berechnet. Diese Zeilen sollten nicht geändert werden. Schließlich werden alle Ansatzfunktionen in ein Graphikfenster ausgegeben, so dass eine Sichtkontrolle der Zulässigkeit als Vergleichsfunktionen möglich ist.
Mit den beiden Vektoren EIS und rhoAS werden die Integralanteile automatisch aufgebaut (auch dieser Bereich sollte nicht geändert werden), ergänzt werden müssen nur die diskreten Massen und die diskreten Federn. Dies wird im dritten anzupassenden Bereich realisiert.

Hier ist es einmal die Drehfeder c_Tam linken Rand (Punkt 1), die in der Steifigkeitsmatrix ergänzt wird: + cT*vdS(1,ii)*vdS(1,jj). Bei weiteren Drehfedern oder zusätzlichen Federn kommen entsprechende weitere Summanden hinzu, wobei nur die weiß geschriebenen Zeichen modifiziert werden müssen. Während die Drehfederkonstante mit den ersten Ableitungen vdS der Ansatzfunktionen multipliziert werden muss, würde eine der Verschiebung entgegen wirkende Feder mit der Federkonstanten c mit den Verschiebungswerten vS multipliziert werden, eine solche Feder am Punkt kM würde z. B. durch den zusätzlichen Summanden + c*vS(kM,ii)*vS(kM,jj) erfasst werden.

Nun muss noch die Einzelmasse am Punkt kM ergänzt werden, die durch einen zusätzlichen Summanden in der Massenmatrix realisiert wird: + mk*vS(kM,ii)*vS(kM,jj). Weitere Einzelmassen würden durch entsprechende zusätzliche Summanden erfasst werden.

Der Rest des Scripts beinhaltet die Lösung des Allgemeinen Matrizeneigenwertproblems (vgl. hierzu die Site "Matrizeneigenwertprobleme") mit der Matlab-Function eig, die graphische Ausgabe der ersten drei Eigenschwingungsformen und die Ausgabe der ersten drei Eigenfrequenzen in das Command Window.

% Ritzsches Verfahren: Biegeschwingungen gerader Traeger mit Polynom-Ansatzfunktionen,
% Aufgabe 32-9.

clear all

% 11111111111 ANPASSEN AN DAS AKTUELLE PROBLEM VON HIER ... 111111111111111111111111111
% Parameter:
a = 0.6 ;
tl = 1.4 ;
EI = 5000 ;
rhoA = 4.8 ;
mk = 4 ;
cT = 60000 ;

% Ansatzfunktionen und deren 1. und 2. Ableitungen:
m = 5 ; % Anzahl der Ansatzfuntionen (wenn m < 5 ...
P1 = [1/tl^3 -2/tl^2 1/tl 0] ; % ... gesetzt wird, werden nur die ersten ...
P2 = [1/tl^4 -2/tl^3 1/tl^2 0 0] ; % ... m Ansatzfunktionen verwendet)
P3 = [1/tl^5 -2/tl^4 1/tl^3 0 0 0] ;
P4 = [1/tl^6 -2/tl^5 1/tl^4 0 0 0 0] ;
P5 = [1/tl^7 -2/tl^6 1/tl^5 0 0 0 0 0] ;
% 11111111111 ... BIS HIER 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

P1D = polyder (P1);
P2D = polyder (P2);
P3D = polyder (P3);
P4D = polyder (P4);
P5D = polyder (P5);

P1DD = polyder (P1D) ;
P2DD = polyder (P2D) ;
P3DD = polyder (P3D) ;
P4DD = polyder (P4D) ;
P5DD = polyder (P5D) ;

% ------------------------------------------------------------------------------------
% Vorbereitung der numerischen Integration und der Ergebnisauswertung:
n = 100 ; % Anzahl der Abschnitte für numerische Integration
dz = tl / n ; % Breite eines Integrationsintervalls
nS = n + 1 ; % Anzahl der Stützstellen
zS = 0 : dz : tl ; % Koordinaten der Stützpunkte

EIS = zeros (nS , 1) ;
rhoAS = zeros (nS , 1) ;

% 22222222222222 ANPASSEN AN DAS AKTUELLE PROBLEM VON HIER ... 222222222222222222222222
EIS(1:nS) = EI ; % Biegesteifigkeit und ...
rhoAS(1:nS) = rhoA ; % ... Massebelegung

kM = round (n*a/tl + 1) ; % Punktnummer für Einzelmasse
% 22222222222222 ... BIS HIER 222222222222222222222222222222222222222222222222222222222

% Funktionswerte und 1. und 2. Ableitung der Ansatzfunktionen an den Stützdtellen
vS (:,1) = polyval (P1 , zS)' ;
vS (:,2) = polyval (P2 , zS)' ;
vS (:,3) = polyval (P3 , zS)' ;
vS (:,4) = polyval (P4 , zS)' ;
vS (:,5) = polyval (P5 , zS)' ;
vdS (:,1) = polyval (P1D , zS)' ;
vdS (:,2) = polyval (P2D , zS)' ;
vdS (:,3) = polyval (P3D , zS)' ;
vdS (:,4) = polyval (P4D , zS)' ;
vdS (:,5) = polyval (P5D , zS)' ;
vddS(:,1) = polyval (P1DD , zS)' ;
vddS(:,2) = polyval (P2DD , zS)' ;
vddS(:,3) = polyval (P3DD , zS)' ;
vddS(:,4) = polyval (P4DD , zS)' ;
vddS(:,5) = polyval (P5DD , zS)' ;

subplot(m+1,1,1) ; plot(zS , vS(:,1:m)) ; grid ; title('Ansatzfunktionen:') ;

% ------------------------------------------------------------------------------------
% Aufbau des allgemeinen Matrizen-Eigenwertproblems:
K = zeros (m , m) ;
M = zeros (m , m) ;

for ii = 1:m % Schleife über alle Gleichungen
for jj = 1:m % ii-te Zeile (Koeffizienten kij)
   Summe1 = EIS (1)*vddS(1,ii)*vddS(1,jj) + EIS (nS)*vddS(nS,ii)*vddS(nS,jj) ;
   Summe2 = rhoAS(1)*vS (1,ii)*vS (1,jj) + rhoAS(nS)*vS (nS,ii)*vS (nS,jj) ;
   faktor = 4 ; % Numerische Integration ...
   for k = 2:n % ... nach Simpsonscher Regel ...
   Summe1 = Summe1 + EIS (k) * vddS(k,ii) * vddS (k,jj) * faktor ;
   Summe2 = Summe2 + rhoAS(k) * vS (k,ii) * vS (k,jj) * faktor ;
   if (faktor == 4) faktor = 2 ;
   else faktor = 4 ;
   end ;
   end
% 33333333333333 ANPASSEN AN DAS AKTUELLE PROBLEM VON HIER ... 3333333333333333333333333
   K(ii,jj) = Summe1*dz/3 + cT*vdS(1,ii)*vdS(1,jj) ; % Drehfeder cT am Punkt 1;
   M(ii,jj) = Summe2*dz/3 + mk*vS(kM,ii)*vS(kM,jj) ; % Masse mk am Punkt kM
% 33333333333333 ... BIS HIER ... 333333333333333333333333333333333333333333333333333333
end
end

% Loesen des Allgemeinen Matrizeneigenwertproblems:
[V D] = eig (K , M) ;

for i=1:m
   f(i) = sqrt(D(i,i)) / (2*pi) ;
end
[f , Index] = sort(f) ;
if (m > 3) mm = 3 ; else mm = m ; end ; % Maximal 3 Eigenfrequenzen ausgeben ...
Eigenfrequenzen = f(1:mm)

z = 0 : tl/n : tl ;
for i = 1:mm % ... bzw. Eigenschwingungsformen zeichnen
   v = vS(:,1:m) * V(:,Index(i)) ;
   subplot (mm+1,1,i+1) ; plot (z , v) , grid on , ...
   title (strcat(num2str(i),'. Eigenschwingungsform:')) ;
end

Die ersten beiden der in das Command Window ausgegebenen Eigenfrequenzen zeigen eine ausgezeichnete Übereinstimmung mit den Ergebnissen der analytischen Lösung, die dritte Eigenfrequenz weicht merklich ab. Die Graphik-Ausgabe bestätigt, dass die 5 Ansatzfunktionen die geometrischen Randbedingungen erfüllen. Die Eigenschwingungsformen zeigen den zu erwartenden Verlauf.

Das oben gelistete MATLAB-Script steht als Aufg32_9_Ritz.m zum Download zur Verfügung.


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