Im Skript “Biegeschwingungen gerader Träger” wird gezeigt, dass mit den oben eingezeichneten Koordinaten die Biegeverformung in der Form

mit

aufgeschrieben werden kann. Hierin enthält der Parameter

die gesuchte Eigenkreisfrequenz ω. Als Bezugslänge wurde (willkürlich) a gewählt. Die in der allgemeinen Lösung enthaltenen Konstanten C₁ ... C₈ müssen den folgenden 8 Rand- und Übergangsbedingungen genügen:

Vor der Aufstellung des Gleichungssystems für die Konstanten C₁ ... C₈ muss die sechste Bedingung (Kraftgleichgewicht an der Masse m, nebenstehende Skizze) noch bearbeitet werden: Im Skript “Biegeschwingungen gerader Träger” wird gezeigt, dass für die Zeitfunktion

gilt. Mit der oben angegebenen Beziehung zwischen ω und λ wird daraus:

Wenn dies in die sechste Bedingung eingesetzt wird, kürzt sich die Zeitfunktion T heraus, und es verbleibt:

Mit dieser und den 7 anderen Rand- und Übergangsbedingungen kann nun das Gleichungssystem für die 8 Integrationskonstanten formuliert werden:

Das homogene Gleichungssystem hat nur dann nichttriviale Lösungen, wenn die Koeffizientendeterminate verschwindet. Aus dieser Bedingung können die (unendlich vielen) Werte für λ berechnet werden (Eigenwerte), aus denen sich dann die Eigenkreisfrequenzen bzw. Eigenfrequenzen berechnen lassen. Für diese Eigenwerte existieren nichttriviale Lösungen (nicht alle C_i sind gleich 0), die sich jedoch nur bis auf einen willkürlichen Faktor bestimmen lassen.

Das nachfolgende MATLAB-Script realisiert diese Berechnungen mit folgender Strategie:

• Die Koeffizientenmatrix des homogenen Gleichungssystems wird als Funktion von λ aufgefasst, für die in einem bestimmten Bereich eine vorgegebene Anzahl von Nullstellen gesucht werden. Aus ihnen werden die Eigenfrequenzen berechnet und in das Command Window ausgegeben.
   
• Für alle berechneten Nullstellen (Eigenwerte) λ_i werden die zugehörigen Eigenfunktionen bestimmt. Das oben angegebene homogene Gleichungssystem hat für die berechneten λ_i eine singuläre Koeffizientenmatrix und damit auch nichttriviale Lösungen, die allerdings nicht eindeutig sind. Für die Berechnung der nichttrivialen Lösung kann die Matlab-Function null verwendet werden, die eigentlich für die Berechnung des so genannten "Nullraums einer Matrix" vorgesehen ist. Der Nullraum einer Matrix wird durch einen Satz orthonormierter Vektoren bestimmt, die bei Linksmultiplikation mit dieser Matrix jeweils den Nullvektor ergeben. Die Anzahl solcher Vektoren entspricht dem Defekt der singulären Matrix. In diesem Fall mit einer Matrix mit dem Defekt 1 wird also ein solcher Vektor abgeliefert, der eine nichttriviale Lösung (Konstanten C_1,i ... C_8,i) des homogenen Gleichungssystems ist.

• Mit den Konstanten C_1,i ... C_8,i können dann die Funktionen Z_1,i und Z_2,i ausgewertet werden. Sie werden als Eigenschwingungsformen graphisch dargestellt.

Mit dem Script werden die drei kleinsten Einfrequenzen berechnet und in das Command Window ausgegeben. Die zugehörigen Eigenschwingungsformen werden in ein separates Graphik-Fenster gezeichnet: