Im Skript “Biegeschwingungen gerader Träger” wird gezeigt, dass eine beliebige Ansatzfunktion, die die geometrischen Randbedingungen erfüllt, in der Regel recht schlechte Näherungen liefert. Dagegen kann eine elastostatische Biegelinie mit einer “passenden” Belastung eine ausgezeichnete Näherung liefern.

Die Biegelinie für den nebenstehend skizzierten Belastungsfall

(vgl. “Dankert/Dankert: Technische Mechanik”, Seiten 246 und 247) bietet sich dafür an, wobei nur der Inhalt der eckigen Klammer verwendet werden muss:

Der Rayleighsche Quotient (siehe Skript “Biegeschwingungen gerader Träger”) vereinfacht sich für diese Aufgabe zu

Das nebenstehend zu sehende Matlab-Script zeigt die Lösung, wobei die bestimmten Integrale mit der Matlab-Function quad berechnet werden.

Der in das nachfolgend zu sehende Command Window ausgegebene Wert für die kleinste Eigenfrequenz ist eine ausgezeichnete Näherung des “exakten” Wertes

f_1,exakt = 77,60 s ^{- 1  .}

Wenn Biegesteifigkeit und/oder Massebelegung nicht konstant sind (z. B. nur bereichsweise konstant), kann die Verwendung der Matlab-Function quad wegen der Notwendigkeit der Bereitstellung einer Function für die Berechnung des Integranden etwas umständlich sein. Deshalb wird hier (nebenstehend) auch noch ein Matlab-Script für diese Aufgabe angegeben, das wie das Script für das Ritzsche Verfahren die Simpsonsche Regel für die numerische Integration verwendet. Es liefert das gleiche Ergebnis wie das oben zu sehende Script.

Biegesteifigkeit und Massebelegung werden in den Zeilen 17 und 18 als Vektoren mit Werten für alle Stützpunkte belegt, dies kann gegebenenfalls für andere Aufgaben beliebig modifiziert werden.