Problem

Ein Rad mit dem Radius R rollt (ohne zu gleiten) mit der konstanten Geschwindigkeit v₀ auf der Horizontalen. Für einen Punkt A im Abstand a vom Radmittelpunkt sollen die Bahnkurve und die Bahngeschwindigkeit für drei komplette Umdrehungen des Rades ermittelt werden.

Das Koordinatensystem wird (wie skizziert) so gelegt, dass sich das Rad zur Zeit  t = 0  bei  x = 0  befindet und der Punkt A senkrecht unter dem Radmittelpunkt liegt.

Nach einer Zeit t (gestrichelt gezeichnet) hat das Rad den Weg v₀ t zurückgelegt und die gleiche Strecke auf dem Umfang abgewälzt (fett gezeichnet), so dass der Punkt A unter dem eingezeichneten Winkel ("Bogen/Radius") zu finden ist. Für seine Lage zum Zeitpunkt t liest man aus der Skizze folgende Parameterdarstellung der Bewegung (bzw. der Bahnkurve) ab:

Seine Bahngeschwindigkeit errechnet man aus den Ableitungen von x bzw y nach der Zeit t:

Darstellung der Bahnkurven

Für die Auswertung der Funktionen werden folgende Zahlenwerte angenommen: v₀ = 1 m/s, R = 3 m, für a werden nacheinander 6 m (verlängerte Zykloide), 3 m (spitze Zykloide) und 1,5 m (verkürzte Zykloide) angenommen. Weil der Winkel v₀t/R = 2π eine komplette Umdrehung des Rades beschreibt, werden (gefordert sind 3 Umdrehungen) die Bahnkurven für den Zeitbereich t = 0 ... 6πR/v₀ dargestellt.

• Nach dem Start des Programms "Funktionen analysieren" (zu finden unter TM-interaktiv) werden zunächst (über das gelbe Eingabefeld links oben) die Zahlenwerte als Konstanten definiert, z. B. so: R=3;<Return> oder R=3 und Klick auf den Button "Konstante".
• Danach werden die Funktionen (auch über das gelbe Eingabefeld) eingegeben, z. B. so: x=v0*t-a*sin(v0*t/R), abgeschlossen wird eine Funktionseingabe mit <Return> oder Klick auf den Button "Funktion".
• Für den darzustellenden Bereich werden im Feld tAnf eine 0 und im Feld tEnd der Ausdruck 6*pi*R/v0 eingetragen.
• Weil Bahnkurven sinnvollerweisen mit gleicher Skalierung für beide Koordinatenrichtungen dargestellt werden, wird (unten links) die Skalierung auf "isotrop" umgestellt.
• Weil y(x) und nicht x(t) und y(t) dargestellt werden sollen, wird der Radiobutton vor der Funktion x, der die Abszisse für die Grafik festlegt, angeklickt.
• Der linke und der mittlere Teil des Bildschirms sollten so aussehen, wie es der Bildschirm-Schnappschuss zeigt. Nun kann im Auswahlfeld "Aktionen mit Funktionen" das Angebot "Grafische Darstellung" gewählt werden, und im rechten Teil des Bildschirms erscheint die Bahnkurve der verlängerten Zykloide:

  

• Nach Änderung des Wertes für die Konstante a und erneute Auswahl "Grafische Darstellung" sieht man die spitze bzw. die verkürzte Zykloide:

    

Bahngeschwindigkeit

• Zunächst wird zusätzlich zu den bereits definierten Funktion die Bahngeschwindigkeit entsprechend der oben angegebenen Formel definiert, z. B. so: v=v0*sqrt[1+(a/R)^2-2*(a/R)*cos(v0*t/R)].
• Weil das Programm "Funktionen analysieren" numerisch differenzieren kann, soll zusätzlich noch eine Kontrollfunktion dargestellt werden. Dafür werden die Ableitungen der Funktionen x und y als xp=x' bzw. yp=y' definiert, mit der schließlich die numerisch gebildete Geschwindigkeits-Funktion vn=sqrt(xp^2+yp^2) definiert wird.
• Um die Genauigkeit für das numerische Differenzieren zu erhöhen, wird die Anzahl der Schritte nSteps auf 200 erhöht.
• Weil die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt werden soll (Achsen haben unterschiedliche Dimensionen) wird die Skalierung der Koordinatenachsen auf anisotrop eingestellt.
• Als Abszisse für Grafik wird t gewählt, und die "Häkchen" vor den Funktionen werden bis auf die beiden vor v und vn entfernt.
• Nun kann im Auswahlfeld "Aktionen mit Funktionen" das Angebot "Grafische Darstellung" gewählt werden, und der Bildschirm sollte folgendermaßen aussehen:

Obwohl zwei Funktionen dargestellt werden, sieht man nur einen Kurvenzug. Das ist eine Bestätigung der Rechnung, denn die numerisch berechnete Geschwindigkeit muss natürlich mit der analytisch erzeugten Funktion übereinstimmen. Einige wenige blaue Pixel sind zu sehen, wodurch bestätigt wird, dass die blaue Funktion v hinter der roten Funktion vn liegt.