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Gleichgewicht bei einer weichen Feder, Lösung mit Maple

Weil ohnehin auf die numerische Lösung hingearbeitet wird, beginnt die nebenstehend zu sehende Folge von Maple-Kommandos nach dem Restart  mit der Eingabe der Zahlenwerte der beiden Problemparameter (weiße Zeilen). Die anschließende Definition des Formelsatzes endet (hellblaue Zeile) mit der Definition der Funktion f(β).

> restart;
> cldmg:=1;
> l0dl:=1;
> adl:=cos(beta);
> bdl:=sin(beta);
> lsdl:=sqrt((1-adl)^2+(l0dl+bdl)^2);
> sinDelta:=(1-adl)/lsdl;
> cosDelta:=(l0dl+bdl)/lsdl;
> Fcdmg:=cldmg*(lsdl-l0dl);
> f:=beta -> adl/2-Fcdmg*(adl*cosDelta+bdl*sinDelta);
> plot (f(beta), beta=0..2*Pi);

Eine graphische Darstellung des interessierenden Bereichs (0 ... 2π) der Funktion (mit plot)  soll zunächst einen Überblick über Anzahl und Lage der Nullstellen geben.

Der nebenstehend zu sehende Ausschnitt aus dem Maple Worksheet zeigt die Ergebnisse der letzten vier Kommandos. Man erkennt, dass die Funktion im interessierenden Bereich vier Nullstellen hat.

Nebenstehend sieht man die Fortsetzung des Maple Worksheets: Die 4 Nullstellen der Funktion werden numerisch mit fsolve ermittelt (und anschließend in Gradmaß umgerechnet). Dabei werden zwei Varianten der Nullstellenberechnung demonstriert. Für die Suche nach der 1., 3. und 4. Nulsstelle wird jeweils ein β-Wert vorgegeben, in dessen Nähe dann die Nullstelle gesucht wird, für die 2. Nullstelle wird ein Intervall angegeben, in dem nach der Nullstelle gesucht wird.

Die folgende kleine Änderung der Rechnung sollte man sich (und den Maple-Programmierern, die darauf sicher stolz sind) gönnen. Wenn man die numerische Nullstellensuche mit fsolve durch die symbolische Rechnung mit solve ersetzt, errechnet Maple tatsächlich gleich alle vier Lösungen im interessierenden Bereich. Das sind sie:

Es sind tatsächlich 4 Lösungen (jeweils durch Komma getrennt, die vierte in der letzten Zeile lautet -π/2, die anderen drei sind etwas komplexer), die Funktion RootOf steht darin für die Wurzeln der jeweils in Klammern folgenden Polynome (hier 5. Grades).

Dass es die richtigen Lösungen sind, kann man mit dem anschließend eingegebenen evalf-Befehl bestätigen:

Übrigens: Wenn man symbolisch rechnet, kann man natürlich auch die Zahlenwerte für die beiden Problemparameter weglassen. Maple kapituliert auch davor nicht, allerdings passt dann nicht einmal mehr eine der vier Lösungen auf einen Bildschirm.

Zum Download verfügbar sind

  • das Maple Worksheet Seite136.mws mit der kompletten numerischen Berechnung,
     
  • das Maple Worksheet S136Solve.mws mit der symbolischen Berechnung (wie zuletzt gezeigt, also mit der Vorgabe der beiden Problemparameter als Zahlenwerte.

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