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Aufgabe
Der skizzierte Schwinger (Masse m1, Federzahl c1) wird mit der Erregerkreisfrequenz Ω1 erregt. Für den Fall
(Resonanz) wachsen die Ausschläge über alle Maßen. Es soll ein Tilger (Masse mT , Federzahl cT) angebracht werden, der genau die Resonanzfrequenz tilgt. Für das entstehende Schwingungssystem mit zwei Freiheitsgraden sollen die Amplituden der beiden Massen in Abhängigkeit von der Erregerkreisfrequenz Ω1 berechnet werden.
Lösung, Dimensionierung des Tilgers
Im Kapitel "Systeme mit mehreren Freiheitsgraden" wird gezeigt, dass die Tilgung einer Schwingung mit der Erregerkreisfrequenz Ω1 genau dann erreicht wird, wenn ein Tilger angebracht wird, dessen Parameter die Bedingung Ω12 = cT /mT erfüllt. Einer der beiden Parameter kann also frei geählt werden, hier wird (willkürlich) für die Tilgermasse mT = km1 angesetzt (mit einem noch beliebig festzulegenden Faktor k). Weil die zu tilgende Frequenz die Resonanzfrequenz des Ein-Massen-Schwingers sein soll, berechnet man cT folgendermaßen:
(für die Vereinfachung der weiteren Rechnung wurde die Abkürzung ωT2 = cT /mT eingeführt).
Mit der Berechnung der beiden Parameter des Tilgers (k darf beliebig gewählt werden) ist die Aufgabenstellung, den Tilger zu dimensionieren, erfüllt. Es ist damit ein Zwei-Massen-Schwinger entstanden, dessen Eigenschaften nachfolgend noch untersucht werden.
Der Zwei-Massen-Schwinger
Die Tilgung der Schwingung einer bestimmten Frequenz (hier: Eigenkreisfrequenz des einfachen Schwingers) erzeugt einen Zwei-Massen-Schwinger, der nun zwei Eigenkreisfrequenzen hat. Das muss beachtet werden, denn mit der Tilgung der einen gefährlichen Erregerfrequenz ist ein Schwinger entstanden, für den es zwei (andere) gefährliche Erregerfrequenzen gibt.
Im Kapitel "Systeme mit mehreren Freiheitsgraden" wird die Beziehung hergeleitet, aus der man die beiden Eigenkreisfrequenzen des Zwei-Massen-Schwingers berechnen kann. Mit den Parametern des hier betrachteten Systems ist es die Gleichung
die für die aktuelle Aufgabe mit den oben angegebenen Beziehungen noch vereinfacht werden kann:
Die Lösung dieser quadratischen Gleichung liefert die Quadrate der beiden Eigenkreisfrequenzen des Zwei-Massen-Schwingers ω12 und ω22. Damit können dann die Amplituden der mit F0 cosΩ1t erregten erzwungenen Schwingung berechnet werden. Auch dafür werden im Kapitel "Systeme mit mehreren Freiheitsgraden" die Formeln bereitgestellt, die in dimensionsloser Form (auf F0/c1 bezogen) folgendermaßen aussehen:
Realisierung der Berechnung mit Maple
Der nachfolgende Bildschirm-Schnappschuss zeigt die Realisierung des oben entwickelten Algorithmus mit Maple:
- Zunächst wird die Gleichung, mit der die Quadrate der beiden Eigenkreisfrequenzen des Zwei-Massen-Schwingers berechnet werden, definiert und symbolisch gelöst.
- Mit den berechneten Eigenkreisfrequenzen können die Amplituden der beiden schwingenden Massen aufgeschrieben werden.
- Schließlich wird mit der Wahl des Parameters k die Größe der Tilgermasse festgelegt (der Wert k = 1/5 wird auch im Kapitel "Systeme mit mehreren Freiheitsgraden" bei der Behandlung dieser Aufgabe verwendet).
- Die graphische Darstellung der Amplituden der beiden schwingenden Massen in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz zeigt, dass die Masse m1 bei einer Erregerfrequenz Ω1, die der Tilgerfrequenz ωT entspricht (η = 1), tatsächlich in Ruhe ist, während der Tilger bei beliebiger Erregerfrequenz immer Schwingungen ausführt. Zu erkennen sind auch die beiden neuen kritischen Frequenzen ω1 und ω2.
