Anhang B: Schwingungsmodell eines Fahrzeugrades, Berechnung mit MATLAB

Das MATLAB-Script ist als Function geschrieben, um die Function zur Definition der rechten Seite des Differenzialgleichungssystems auch in dieser Datei unterbringen zu können:

function Autorad

% Parameter (global definiert, damit Wertaenderung nur an einer Stelle erforderlich):
global mK mR cK cR k a v0 b
mK = 1000 ; mR = 25 ; cK = 30000 ; cR = 90000 ; k = 750 ; a = 0.2 ; v0 = 50000/3600 ; b = 0.4 ;

x0   = [0 ; 0 ; 0 ; 0] ;        % Anfangswerte
tspan = [0 4] ;                 % Zeitintervall

% Integration des Anfangswertproblems:
maxstp = 0.1
options = odeset('MaxStep' , maxstp) ;
[t x]  = ode45 (@RechteSeite , tspan , x0 , options) ;

% Grafische Ausgabe, zunaechst "Sortieren der Ergebnisse":
xK = [1 0 0 0] * x' ; % x' ist die transponierte Matrix der Ergebnisse,
xR = [0 1 0 0] * x' ;
vK = [0 0 1 0] * x' ;
vR = [0 0 0 1] * x' ;

tlen = length(t) ;
xKEnd = xK(tlen)
xREnd = xR(tlen)
for ii = 1:tlen
   if (t(ii) < b/v0)  u(ii) = a/b*v0*t(ii) ; else u(ii) = a  ; end
end

subplot(3,1,1) ; plot (t , xK ,'-r' , t , xR ,'-b' , t , u ,'-g') ,
                 grid on , title ('x-t-Diagramm:') , legend ('xK','xR','u')
subplot(3,1,2) ; plot (t , vK ,'-r' , t , vR, '-b') ,
                 grid on , title ('v-t-Diagramm:') , legend ('vK','vR')
subplot(3,1,3) ; plot (xK , vK) , grid on , title  ('vK-xK-Diagramm:')

% ============================================================
% Funktion, die die "rechte Seite" des Dgl.-Systems definiert:
function f = RechteSeite (t , x)

global mK mR cK cR k a v0 b

xK = x(1) ;
xR = x(2) ;
vK = x(3) ;
vR = x(4) ;

if (t < b/v0)  u = a/b*v0*t ; else u = a  ; end

xKp  = vK ; 
xRp  = vR ; 
vKp  = (-cK*(xK-xR)-k*(vK-vR))/(mK/4) ; 
vRp  = (cK*(xK-xR)-cR*(xR-u)+k*(vK-vR))/mR ;

f = [xKp ; xRp ; vKp ; vRp] ;

Rechts ist das Graphik-Fenster mit der Darstellung der Bewegungsgesetze für Rad und Karosse zu sehen.

Die plötzliche Aufwärtsbewegung des Rades wird zwar an die Karosse wesentlich verzögert weitergegeben, die dann allerdings mit einem längeren Ausschwingvorgang nach der Art alter “amerikanischer Straßenkreuzer” reagiert.

Die “hektischen” Bewegung des Rades (speziell die sich sehr stark ändernden Geschwindigkeiten) fallen in den sehr kurzen Zeitabschnitt des Überfahrens der Schwelle.

Die Verifizierung der Ergebnisse ist für diese Aufgabe schwierig. Um eine Bestätigung für die ausreichende Genauigkeit der Rechnung zu bekommen, werden in das Command Window die Werte für x_K und x_R am Ende des berechneten Intervalls ausgegeben. Das nachfolgend zu sehende Command Window zeigt dies für zwei Rechnungen mit unterschiedlichen Werten für die MaxStep-Option. Da die Werte im Rahmen der ausgegebenen Stellen gleich sind, ist die durchgeführte Rechnung offensichtlich “gesund”.

Das oben gelistete Script steht als Autorad.m zum Download zur Verfügung.