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Statisch bestimmtes Tragwerk, Lösung mit Maple

Weil Maple symbolisch rechnen kann, wird zunächst gezeigt, dass selbst ein Gleichungssystem dieser Größenordnung durchaus noch beherrschbar ist.

Nebenstehend ist die Definition des Gleichungssystems in der allgemeinsten Form zu sehen. Die Abkürzungen stehen für die Parameter der Aufgabenstellung “b durch a” (bda), “c durch a” (cda), die Kräfte F1, F2 und F3 und die für die Winkelfunktionen eingeführten Abkürzungen  “c-quer” (cq), “s-quer” (sq).

> restart;
> with (linalg);
> A := matrix(12,12,[cq,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
>                  -sq,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,
>                    0,0,-5-cda,1,-cda,-1,0,0,0,0,0,0,
>                    0,cq,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,
>                    0,sq,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,
>                    0,0,0,0,0,-2,0,-1,0,0,0,0,
>                  -cq,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,
>                    sq,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,
>                    0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-2,0,0,
>                    0,-cq,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,
>                    0,-sq,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,
>                    0,0,0,0,0,0,0,0,cda,-1,-3-cda,-1]);
> b := matrix(12,1,[-F1,0,F1*(5+cda-bda),0,F2,F2,0,F3,-F3,0,0,0]);
> linsolve (A,b);

Der nebenstehende Ausschnitt aus dem Maple Worksheet  (B2_2Maple1.mws) zeigt einen Teil des Ergebnisvektors (die ersten sechs Kräfte). Damit wird

  • einerseits verdeutlicht, dass Maple selbst mit 7 symbolischen Größen in einem linearen Gleichungssystem mit 12 Unbekannten kein Problem hat,
     
  • andererseits zeigt sich, dass die symbolische Lösung in dieser allgemeinen Form nicht gerade aussagefähig ist.

Aber Maple gestattet auf recht komfortable Art das schrittweise Ersetzen von Symbolen durch Ausdrücke oder auch spezielle Zahlenwerte. Nebenstehend sieht man zunächst das “Nachliefern” der beiden Ausdrücke für die Winkelfunktionen cq und sq (die beiden weißen Zeilen am Ende).

In Maple gelten auch “nachgelieferte Zeilen” im gesamten Worksheet, so dass man die Erweiterung folgendermaßen wirksam werden lässt:

> restart;
> with (linalg);
> A := matrix(12,12,[cq,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
>                  -sq,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,
>                    0,0,-5-cda,1,-cda,-1,0,0,0,0,0,0,
>                    0,cq,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,
>                    0,sq,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,
>                    0,0,0,0,0,-2,0,-1,0,0,0,0,
>                  -cq,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,
>                    sq,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,
>                    0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-2,0,0,
>                    0,-cq,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,
>                    0,-sq,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,
>                    0,0,0,0,0,0,0,0,cda,-1,-3-cda,-1]);
> b := matrix(12,1,[-F1,0,F1*(5+cda-bda),0,F2,F2,0,F3,-F3,0,0,0]);
> linsolve (A,b);

> cq:=5/sqrt(25+cda^2);
> sq:=cda/sqrt(25+cda^2);

Klicken in die Zeile

A := matrix (12,12, ...

und danach dreimal <Return>, um die Definition und Lösung des Gleichungssystems neu abzuarbeiten. Die für cq und sq definierten Ausdrücke werden in die Koeffizientenmatrix, in die rechte Seite und damit auch in das Ergebnis eingearbetet. Der nebenstehend zu sehende Ausschnitt aus dem Maple Worksheet B2_2Maple2.mws zeigt den Lösungsvektor, der durchaus den Einfluss aller Parameter auf jede einzelne Kraft deutlich macht. Damit ist das eigentliche Ziel der symbolischen Lösung des Gleichungssystems erreicht.

Hinweis: Beim ersten Abarbeiten des Maple Worksheets B2_2Maple2.mws ab Zeile

restart;

verhält es sich wie B2_2Maple1.mws. Erst nach Abarbeitung der letzten beiden Zeilen werden die darin definierten Ausdrücke bei erneuter Abarbeitung ab “Matrixaufbau” auch verwendet.

Man kann allerdings auch bereits bei der ersten Abarbeitung von der vorgegebenen Reihenfolge der Anweisungen abweichen.

Nachfolgend werden in zwei Stufen durch Vorgabe von Werten für weitere Paramter die speziellen Ergebnisse entsprechend der Aufgabenstellung erzeugt:

> ...
> linsolve (A,b);

> cq:=5/sqrt(25+cda^2);
> sq:=cda/sqrt(25+cda^2);

> cda:=1;
> bda:=3;
> F1:=kappa1*F; F2:=kappa2*F; F3:=kappa3*F;

Zunächst werden - wie oben zu sehen - drei Zeilen (im Listing in der Farbe türkis) ergänzt. Wieder Klicken in die Zeile

A := matrix (12,12, ...

und danach dreimal <Return>, um die Definition und Lösung des Gleichungssystems neu abzuarbeiten: Die zusätzlich angegebenen Werte werden in die Koeffizientenmatrix, in die rechte Seite und damit auch in das Ergebnis eingearbetet, das nebenstehend links zu sehen ist (B2_2Maple3.mws).

Werden auch noch die vorgegebenen Kappa-Werte ergänzt (B2_2Maple4.mws), erhält man nach erneutem Abarbeiten des Gleichungssystems das nebenstehend rechts zu sehende Ergebnis.

> ...
> linsolve (A,b);

> cq:=5/sqrt(25+cda^2);
> sq:=cda/sqrt(25+cda^2);

> cda:=1;
> bda:=3;
> F1:=kappa1*F; F2:=kappa2*F; F3:=kappa3*F;

> kappa1:=2; kappa2:=1; kappa3:=3;

Zum Download verfügbar sind die Maple Worksheets B2_2Maple1.mws, B2_2Maple2.mws, B2_2Maple3.mws, B2_2Maple4.mws.

Es genügt allerdings, das komplette Worksheet B2_2Maple4.mws zu verwenden, das sich bei der ersten Abarbeitung (in der Reihenfolge, wie die Anweisungen aufgelistet sind) ohnehin wie das Worksheet B2_2Maple1.mws verhält. Erst dann, wenn einige der Anweisungen am Ende abgearbeitet wurden und man danach ab der Zeile

A := matrix (12,12, ...

die Abarbeitung wiederholt, erhält man (abhängig davon, welche Zeilen am Ende des Worsheets bereits abgearbeitet wurden) die mehr oder weniger speziellen Ergebnisse.

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