Aufgabe

Eine Stange der Länge l mit der Masse m wird wie skizziert in eine Feder eingehängt, die im entspannten Zustand die Länge l₀ hat. Es sind alle möglichen Gleichgewichtslagen zu bestimmen, wobei zwischen stabilen und instabilen Lagen zu unterscheiden ist.

Für die Rechnung sind die Parameter

zu verwenden.

Lösung

Im Kapitel "Prinzipien der Mechanik" des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird gezeigt, dass die potenzielle Energie des Systems durch die Funktion

beschrieben wird. Die Extremwerte dieser Funktion kennzeichnen die Gleichgewichtslagen des Systems, wobei Minima stabile Gleichgewichtslagen und Maxima instabile Gleichgewichtslagen anzeigen (ausgewertet werden muss nur die geschweifte Klammer). Benötigt wird also ein Programm, das die Minima und Maxima einer solchen Funktion in einem vozugebenden Intervall (hier: 0° ≤ β ≤ 360°) ermitteln kann.

Auswertung der Funktion mit dem Programm "Funktionen analysieren"

Nach dem Start des Programms "Funktionen analysieren" (zu finden unter "Ingenieurmathematik und Technische Mechanik interaktiv") werden zunächst die beiden Konstanten cldmg = 1 ("cl durch mg") und l0dl = 1 ("l₀ durch l") definiert (Schreiben von z. B. cldmg=1 in das gelbe Eingabefeld links oben und Klicken auf "Konstante definieren"). Nach Umbenennung der "Unabhängigen Variablen" in beta wird die Funktion U definiert, zum Beispiel so:

U=-sin(beta)+cldmg*[sqrt{(sin(beta)+l0dl)^2+(1-cos(beta))^2}-l0dl]^2

in das gelbe Eingabefeld schreiben und auf "Funktion definieren" klicken. Der zu untersuchende Bereich wird auf β = 0 ... 360° eingestellt, deshalb wird (oben links) die Interpretation der Winkelfunktionen von "Radian" auf "Grad" umgestellt.

Der linke Teil des Bildschirms sieht dann wie folgt aus:

Aus dem Angebot "Aktionen mit Funktionen" wird "Grafik, spezielle Punkte" gewählt. Nebenstehend sieht man das Ergebnis. Die Grafik zeigt, dass es vier Extremwerte gibt. In der Tabelle unten findet man die Ergebnisse.

Es gibt also 4 mögliche Gleichgewichtslagen, von denen die beiden, die zu relativen Minima der Funktion U(β) gehören, stabil sind. Die folgende Skizze zeigt die Gleichgewichtslagen: