Aufgabe

Eine Stange der Länge l mit der Masse m wird wie skizziert in eine Feder eingehängt, die im entspannten Zustand die Länge l₀ hat. Es sind alle möglichen Gleichgewichtslagen zu bestimmen, wobei zwischen stabilen und instabilen Lagen zu unterscheiden ist.

Für die Rechnung sind die Parameter

zu verwenden.

Lösung

Im Kapitel "Prinzipien der Mechanik" des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird gezeigt, dass die potenzielle Energie des Systems durch die Funktion

beschrieben wird. Die Extremwerte dieser Funktion kennzeichnen die Gleichgewichtslagen des Systems, wobei Minima stabile Gleichgewichtslagen und Maxima instabile Gleichgewichtslagen anzeigen (ausgewertet werden muss nur die geschweifte Klammer). Benötigt wird also ein Programm, das die Minima und Maxima einer solchen Funktion in einem vozugebenden Intervall (hier: 0° ≤ β ≤ 360°) ermitteln kann.

Auswertung der Funktion mit Maple

Das nachfolgend zu sehende "Maple Worksheet" (zum Download verfügbar als GgwLagenBsp2.mws) realisiert folgende Berechnungsstrategie: Zunächst wird die Funktion U(β) grafisch dargestellt, um einen Überblick über die Lage der Extremwerte zu bekommen. Weil Maple symbolisch rechnen kann, wird die Funktion danach differenziert. Die Nullstellen der Funktion U ' (β) werden numerisch bestimmt:

Es gibt also 4 mögliche Gleichgewichtslagen, von denen die beiden, die zu relativen Minima der Funktion U(β) gehören, stabil sind. Die folgende Skizze zeigt die Gleichgewichtslagen: