Ebenes Fachwerk: Verifizieren einer Computerrechnung mit Matlab-Femset

Kontrollrechnung mit Matlab-Femset

Knoten-Informationen
	Kn.-Koord.		Kn.-Lasten		u-verh.
Kn.	x	y	F_x	F_y	u_x	u_y
1	0	0	0	0	1	1
2	6	0	0	0	0	1
3	2	4	0	0	0	0
4	3	4	0	0	0	0
5	4	4	0	0	0	0
6	1	5	0	0	0	0
7	3	6	0	0	0	0
8	5	5	0	0	0	0
9	2	6	0	0	0	0
10	4	6	0	0	0	0
11	2	7	0	0	0	0
12	4	7	0	0	0	0
13	2	8	0	0	0	0
14	4	8	0	0	0	0
15	2	9	0	0	0	0
16	4	9	0	0	0	0
17	2	10	0	0	0	0
18	4	10	0	0	0	0
19	2	11	0	0	0	0
20	4	11	0	0	0	0
21	2	12	-1	0	0	0
22	6	6	0	0	0	0
23	7	5	0	0	0	0
24	8	6	0	0	0	0
25	9	5	0	0	0	0
26	10	6	0	0	0	0
27	11	5	0	0	0	0
28	12	6	0	0	0	0
29	13	5	0	-1	0	0

Die Rechnung soll mit Matlab-Femset verifiziert werden. Matlab-Femset erwartet die Beschreibung des physikalischen Modells mit "Knoten-Informationen" und "Element-Informationen", die in Matrizen zusammengestellt sind (vgl. hierzu die Erläuterungen im Kapitel "Der Stab als finites Element").

Nebenstehend ist die komplette Nummerierung der Stäbe und Knoten zu sehen, wie sie für die Berechnung mit dem Programm "Statisch bestimmte ebene Fachwerke" benutzt wurde. Um die Ergebnisse leichter vergleichen zu können, soll für die Berechnung mit Matlab-Femset die gleiche Nummerierung verwendet werden.

Die Koordinaten der Knoten können aus dem Bild entnommen werden (der Ursprung des nach rechts bzw. oben gerichteten Koordinatensystems liegt im linken Lager). Für die beiden Kräfte wurden Einheitslasten angenommen. In den beiden Spalten u_x und u_y zeigt eine 1 an, dass diese Verschiebung verhindert ist (Lager).

Nachfolgend sind die Element-Informationen zusammengestellt (an welchen Knoten sind die jeweiligen Elemente angeschlossen?):

Element-Informationen
El.	Kn.	Kn.	El.	Kn.	Kn.	El.	Kn.	Kn.	El.	Kn.	Kn.	El.	Kn.	Kn.
1	21	19	12	15	13	23	9	10	34	1	6	45	23	25
2	21	20	13	15	14	24	6	9	35	1	3	46	24	25
3	19	20	14	16	14	25	9	7	36	1	4	47	24	26
4	19	17	15	13	14	26	7	10	37	2	4	48	25	26
5	19	18	16	13	11	27	10	8	38	2	5	49	25	27
6	20	18	17	13	12	28	6	7	39	2	8	50	26	27
7	17	18	18	14	12	29	7	8	40	8	22	51	26	28
8	17	15	19	11	12	30	3	7	41	8	23	52	27	28
9	17	16	20	11	9	31	7	5	42	22	23	53	27	29
10	18	16	21	11	10	32	3	4	43	22	24	54	28	29
11	15	16	22	15	13	33	4	5	44	23	24	55	16	28

Im folgenden Matlab-Script findet man diese Matrizen wieder. Nur der farblich abgehobene Teil muss dem aktuellen Problem angepasst werden (das sind genau die Matrizen, die das Modell definieren):

% FEMSET-Berechnung: Ebenes Fachwerk (Kranmodell mit 55 Staeben und 29 Knoten)
clear all
%    Knotenkoordinaten:
%      1      2      3      4     5      6      7     8     9     10    11     12     13      14     15
xy = [0 0 ; 6  0 ; 2  4 ; 3  4 ; 4  4 ; 1  5 ; 3 5 ; 5 5 ; 2 6 ; 4 6 ;  2 7 ;  4 7 ;  2 8 ;  4  8  ; 2 9 ;
      4 9 ; 2 10 ; 4 10 ; 2 11 ; 4 11 ; 2 12 ; 6 6 ; 7 5 ; 8 6 ; 9 5 ; 10 6 ; 11 5 ; 12 6 ; 13  5] ;
%     16     17      18     19    20     21     22    23    24    25    26     27     28     29
%    Verhinderte Verschiebungen:
kr = [1 1 ;  0 1 ; 0  0 ; 0  0 ; 0  0 ; 0  0 ; 0 0 ; 0 0 ; 0 0 ; 0 0 ;  0 0 ;  0 0 ;  0 0 ;  0  0  ; 0 0 ;
      0 0 ;  0 0 ; 0  0 ; 0  0 ; 0  0 ; 0  0 ; 0 0 ; 0 0 ; 0 0 ; 0 0 ;  0 0 ;  0 0 ;  0 0 ;  0  0] ;
%    Kraefte:
bk = [0 0 ;  0 0 ; 0  0 ; 0  0 ; 0  0 ;  0 0 ; 0 0 ; 0 0 ; 0 0 ; 0 0 ;  0 0 ;  0 0 ;  0 0 ;  0  0  ; 0 0 ;
      0 0 ;  0 0 ; 0  0 ; 0  0 ; 0  0 ; -1 0 ; 0 0 ; 0 0 ; 0 0 ; 0 0 ;  0 0 ;  0 0 ;  0 0 ;  0 -1] ;
%    Koinzidenzmatrix ("An welchen Knoten sind die Staebe angeschlossen?"):
%       1       2       3       4       5       6       7       8       9      10
km = [21 19 ; 21 20 ; 19 20 ; 19 17 ; 19 18 ; 20 18 ; 17 18 ; 17 15 ; 17 16 ; 18 16 ;
      15 16 ; 15 13 ; 15 14 ; 16 14 ; 13 14 ; 13 11 ; 13 12 ; 14 12 ; 11 12 ; 11  9 ;
      11 10 ; 12 10 ;  9 10 ;  6  9 ;  9  7 ;  7 10 ; 10  8 ;  6  7 ;  7  8 ;  3  7 ;
       7  5 ;  3  4 ;  4  5 ;  1  6 ;  1  3 ;  1  4 ;  2  4 ;  2  5 ;  2  8 ;  8 22 ;
       8 23 ; 22 23 ; 22 24 ; 23 24 ; 23 25 ; 24 25 ; 24 26 ; 25 26 ; 25 27 ; 26 27 ;
      26 28 ; 27 28 ; 27 29 ; 28 29 ; 16 28 ] ;
% Dehnsteifigkeiten (fuer Statik-Problem nicht relevant, aber formal erforderlich):
nelem = 55 ; ep(1:nelem,1) = 1 ;

% Finite-Elemente-Algorithmus:
[succ uv] = feskal_m (xy , km , ep , kr , bk) ;

if succ == 1                                           % Nach erfolgreicher Rechnung:
    sk = Stabkraefte2D (xy , km , ep , uv) ;           % Berechnung der Stabkraefte ...
    for i = 1:nelem
       disp (['Stab ',num2str(i), ': Stabkraft F = ',num2str(sk(i))]) ;
    end
    clf ;
    drawfw2dsk (xy , km , kr , bk , sk , 'e') ;        % ... und in Graphik-Fenster darstellen
end

Nachfolgend sind die Ergebnisse der Matlab-Rechnung zu sehen. Sie bestätigen die oben zu sehenden Stabkräfte:

Rechts sieht man die von Matlab ausgegebene Graphik, mit der eine Zuordnung der berechneten Kräfte zu den Stäben möglich ist.

Das oben gelistete Matlab-Script und alle verwendeten Functions und DLLs stehen zum Download zur Verfügung: FWKran.m, Stabkraefte2D.m, drawfw2d.m, drawfw2dsk.m, Elemat_m.dll, feskal_m.dll.