Aufgabe

Für das skizzierte Fachwerk sind die Stabkräfte zu ermitteln. Alle Stäbe haben den gleichen Querschnitt und sind aus dem gleichen Material gefertigt.

Gegeben: F ,  a .

Das Fachwerk ist zweifach statisch unbestimmt. Es ist sowohl äußerlich (4 Lagerreaktionen) als auch innerlich statisch unbestimmt (selbst bei bekannten Lagerreaktionen könnten die Stabkräfte nicht aus Gleichgewichtsbedingungen allein berechnet werden).

Die Aufgabe wird hier interaktiv mit dem unter "Ingenieurmathematik und Technische Mechanik interaktiv" verfügbaren FEM-Programm gelöst.

Lösung

Da alle Stäbe gleichen Querschnitt A haben und aus dem gleichen Material gefertigt sind (gleicher E-Modul für alle Stäbe) haben, spielt die Dehnsteifigkeit EA für die Stabkraftberechnung keine Rolle, ebensowenig die absolute Größe der Abmessung a. Für beide Parameter werden in der nachfolgend beschriebenen Rechnung Einheitswerte verwendet (die nach der Finite-Elemente-Methode stets auch anfallenden Knotenverschiebungen haben dadurch natürlich keine sinnvollen Werte).

Auch für die Kraft F wird ein Einheitswert angenommen. Alle berechneten Zahlenwerte der Stabkräfte sind dann noch mit F zu multiplizieren.

Nach dem Start des Programms "Statisch unbestimmte ebene Fachwerke (FEM)" (dort findet man Links zu ausführlich "Schritt für Schritt" erläuterten Beispielen) wird zunächst die Zeichenfläche dem aktuellen Problem angepasst. Dafür wird die "Karteikarte Zeichenfläche" in den Vordergrund geholt. Wenn man für x-max und y-max die Werte 3 bzw. 4 einstellt und die Rasterweiten beibehält, sind für alle Fachwerkknoten Rasterpunkte vorhanden, wie man nach Anklicken von "Übernehmen" in der Zeichenfläche sehen kann.

Die Knoten brauchen nicht gesondert erzeugt zu werden, sie entstehen automatisch beim Definieren der Stäbe. Nach Anklicken des Menüfeldes "Stab" (rechts oben) erscheint ein Stab in der Zeichenfläche, dessen beide Knoten nacheinander an den gewünschten Punkten fixiert werden. So entsteht das gesamte Fachwerk, das dann noch durch die entsprechenden Lager und die Kraft ergänzt wird. Die stets angebotenen Anpassungen der Zahlenwerte (Voreinstellung sind Einheitswerte) können aus den oben genannten Gründen ignoriert werden. Schließlich sollte das komplette Modell so aussehen:

Nachdem die (links angebotene) grüne Schaltfläche "Berechne" angeklickt wurde, werden die Knotenverschiebungen berechnet und das verformte System gezeigt. Weil die Verformungen nicht interessieren (und wegen der verwendeten Einheitswerte auch nicht sinnvoll sind), wird sofort auf die rechts unten angebotene Schaltfläche "Stabkräfte" geklickt, und der Bildschirm sollte so aussehen:

Im Kapitel "Formänderungsenergie" des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird diese Aufgabe (mit einiger Mühe) nach dem Verfahren von Castigliano "von Hand" gelöst, so dass ein Vergleich der Ergebnisse möglich ist. Der nebenstehende Ausschnitt aus dem Buch zeigt die Tabellenrechnung mit den Ergebnissen. Diese stimmen in allen angegebenen Stellen mit dem Ergebnis der FEM-Rechnung überein, was auch zu erwarten ist, weil die FEM-Theorie die Theorie die ebenen Fachwerkberechnung exakt erfasst.