Aufgabe

Das skizzierte Fachwerk (Kraft F und die Länge a sind gegeben) wird im Kapitel "Ebene Systeme starrer Körper" mit dem Ziel analysiert, möglichst viele Kontrollmöglichkeiten für die sich anbietende Berechnung mit einem Computerprogramm zu finden.

Mit 29 Knoten und 55 Stäben (das Seil, das den Ausleger hält, wird wie ein Stab betrachtet) ist es im Vergleich mit entsprechenden Problemen der technischen Praxis ein relativ einfaches Modell. Das Fachwerk ist statisch bestimmt: Den 58 Unbekannten (55 Stabkräfte und 3 Lagerreaktionen) stehen 2·29 Gleichungen gegenüber.

Interaktive Berechnung mit dem Programm "Statisch bestimmte ebene Fachwerke"

Es bietet sich an, die Berechnung interaktiv mit dem Programm "Statisch bestimmte ebene Fachwerke" durchzuführen, das man unter www.TM-interaktiv.de findet. Dieses Programm erwartet die Beschreibung des physikalischen Modells (vom Benutzer wird also keine Mathematik abgefordert). Hier findet man die Demonstration der Berechnung "Schritt für Schritt" mit diesem Programm. Das Ergebnis sieht so aus:

Möglichkeiten, die Rechnung zu verifizieren

Mit der nebenstehenden Skizze wird verdeutlicht, welche Möglichkeiten sich anbieten, die Computerrechnung auf der Basis der im Kapitel "Ebene Systeme starrer Körper" behandelten theoretischen Grundlagen zu verifizieren, zum Beispiel:

• Da das Fachwerk auch äußerlich statisch bestimmt gelagert ist, können vorab die Lagerreaktionen am Gesamtsystem berechnet werden.
• An den Kraftangriffspunkten J bzw. E sind jeweils nur zwei Stäbe angeschlossen, deren Stabkräfte nach den Regeln des Gleichgewichts des ebenen zentralen Kraftsystems berechnet werden können.
• Am Turm kann man vom Knoten J zum Knoten L weitergehen, weil dann auch dort nur noch zwei Stabkräfte unbekannt sind. Anschließend findet man am Knoten K mit 4 angeschlossenen Stäben wieder nur zwei unbekannte Kräfte, und dieses Vorgehen wird erst am Knoten D gestoppt, weil dort 3 unbekannte Kräfte auftreten.
• Alternativ zu den beschriebenen Rundumschnitten können auch Ritter-Schnitte verwendet werden: Der skizzierte Schnitt RS1 gestattet zum Beispiel die Berechnung der drei durch den Schnitt sichtbar werdenden Stabkräfte ohne Benutzung vorab errechneter Kräfte (Rechenfehler pflanzen sich nicht fort!).
• Wenn mit dem Ritter-Schnitt RS2 die Seilkraft berechnet worden ist, kann man die Berechnung der Stabkräfte am Turm fortsetzen, indem zum Beispiel Ritterschnitte wie RS3 gelegt werden. Auch die Nachrechnung der Stabkräfte im Auslager ist möglich, Ritter-Schnitte wie zum Beispiel RS4 sind dafür empfehlenswert.

Diese Kontrollmöglichkeiten werden nachfolgend exemplarisch ausgeführt. Schwierig bleibt das Portal, für das keine der oben empfohlenen Kontrollen möglich ist. Darauf wird weiter unten deshalb gesondert eingegangen.

Kontrolle der Lagerreaktionen

Die Lagerreaktionen können am Gesamtsystem, das als starrer Körper aufgefasst wird (nebenstehende Skizze), berechnet werden. Das Kraftgleichgewicht in horizontaler Richtung liefert unmittelbar die Lagerkraft F_AH. Das Momentengleichgewicht um den Punkt A entsprechend −F·12a+F·13a−F_B·6a = 0 liefert die Lagerkraft F_B, und ein entsprechendes Momentengleichgewicht um B liefert die Lagerkraft F_AV:

Die Ergebnisse bestätigen die Computerrechnung.

Rundumschnitte an den Knoten J und L

Für die Berechnung der Stabkräfte F_S1 und F_S2 am nebenstehend skizzierten Schnitt um den Knoten J wird der Winkel α₁ benötigt. Es bietet sich an, die cos-Funktion und die sin-Funktion dieses Winkels zu berechnen:

Aus den beiden Gleichgewichtsbedingungen  −F + F_S2 sinα₁ = 0  und  F_S1 + F_S2 cosα₁ = 0  errechnet man die Stabkräfte:

An einem Rundumschnitt um den Knoten L (nebenstehende Skizze) kann man auf gleiche Weise die Winkelfunktionen für den Winkel α₂

und mit der nunmehr bekannten Stabkraft F_S2 die Stabkräfte F_S3 und F_S6 berechnen:

Alle Ergebnisse bestätigen die Computerrechnung.

Stabkraftberechnung mit einem Ritterschen Schnitt

Mit dem Ritterschen Schnitt RS1 durch die Stäbe 8, 9 und 10 können die Stabkräfte F_S8, F_S9 und F_S10 berechnet werden. Mit dem Kraftgleichgewicht in horizontaler Richtung (−F + F_S9 cosα₂ = 0), dem Momentengleichgewicht um den Knoten, an dem die Stäbe 8 und 9 zusammenstoßen (−F·2a + F_S10·2a = 0) und dem Momentengleichgewicht um den Knoten, an dem die Stäbe 9 und 10 zusammenstoßen (−F·3a − F_S8·2a = 0) sind drei Gleichungen verfügbar, aus denen man die Stabkräfte berechnet:

Die Ergebnisse bestätigen die Computerrechnung.

Betrachten von Teilsystemen, Berechnung der Seilkraft

Im Allgemeinen ist man gut beraten, wenn man komplizierte Systeme in mehrere Teilsysteme zu zerlegen versucht. Weil weitere Stabkräfte an Turm und Ausleger ohnehin erst bei bekannter Seilkraft berechnet werden können, wird folgender Weg gewählt: Der Ausleger ist bei C am Portal gelenkig (zweiwertig) gelagert und zusätzlich durch ein einwertiges Lager (Seil) am Turm gefesselt. Entsprechend nebenstehender Skizze können die "Lagerreaktionen" aus den drei Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden. Das Momentengleichgewicht um den Punkt C liefert die Seilkraft:

Aus den Gleichgewichtsbedingungen in horizontaler Richtung (−F_S cosα₃ + F_CH = 0) bzw. vertikaler Richtung (F_S sinα₃ + F_CV − F = 0) können die Kräfte F_CH und F_CV berechnet werden. Schließlich erhält man mit den Winkelfunktionen

folgende Ergebnisse:

Der Wert für die Seilkraft bestätigt die Stabkraft F_S55 der Computerrechnung.

Weitere Ritter-Schnitte, Anschlusskräfte des Turms

Mit der nunmehr bekannten Seilkraft können alle Stabkräfte am Turm und am Ausleger nechgerechnet werden (zum Beispiel mit den Ritterschen Schnitten RS3 oder RS4). Weil dies exakt nach dem Muster geschieht, das für den Ritter-Schnitt RS1 demonstriert wurde, wird hier darauf verzichtet.

Entsprechend nebenstehender Skizze werden aber die Anschlusskräfte zwischen Turm und Portal ermittelt. Das Momentengleichgewicht um den Punkt N liefert die Stabkraft F_S20:

Aus den Gleichgewichtsbedingungen in horizontaler Richtung (F_S cosα₃ − F − F_NH = 0) bzw. vertikaler Richtung (−F_S sinα₃ - F_S20 + F_NV = 0) können die Kräfte F_NH und F_NV berechnet werden. Schließlich erhält man mit den oben angegebenen Winkelfunktionen und der bekannten Seilkraft F_S folgende Ergebnisse:

Der Wert für die Stabkraft F_S20 bestätigt das Ergebnis der Computerrechnung.

Das Problem mit dem Portal

Schließlich bleibt mit dem durch die 5 Anschlusskräfte belasteten Portal ein für die Berechnung der Stabkräfte höchst unangenehmes Gebilde übrig, obwohl auch die Lagerreaktionen bekannt sind. An keinem Knoten stoßen weniger als 3 Stäbe mit noch unbekannten Stabkräften zusammen, und es lässt sich kein Ritter-Schnitt so legen, dass die geschnittenen Stabkräfte berechnet werden könnten.

Natürlich stehen insgesamt genügend Gleichgewichtsbedingungen zur Berechnung der Stabkräfte zur Verfügung, aber die Lösung des Gleichungssystem sollte wohl doch dem Computer übertragen werden. Empfehlenswert ist folgende Strategie:

Neben den 17 Stabkräften werden auch die 3 Lagerreaktionen als "Unbekannte" in die Berechnung einbezogen. Dafür sind an den 10 Knoten insgesamt 20 Gleichgewichtsbedingungen zu formulieren. Die Lösung kann dann recht wirksam durch den Vergleich mit den bereits bekannten Lagerreaktionen kontrolliert werden.

Wenn man sich zur Berechnung mit dem Computer entschließt, sollte man diesem auch möglichst viel übertragen, hier zum Beispiel die Berechnung der Winkelfunktionen für die Winkel α₄ bis α₇. Die (willkürlich wählbare) Reihenfolge der Unbekannten wird folgendermaßen festgelegt: F_S23, F_S24, F_S25, ... , F_S39, F_1x, F_1y, F_2y (die drei letztgenannten sind die Lagerreaktionen an den Punkten P₁ und P₂).

Die Frage, ob man denn unbedingt nach den zahlreichen Kontrollen, mit denen bereits die Richtigkeit der Computerrechnung bestätigt wurde, auch noch das schwierige Portal überprüfen sollte, muss eindeutig mit "Ja" beantwortet werden. Weil die oben nachgerechneten Stabkräfte und auch die Lagerreaktionen völlig unabhängig von der Ausführung des Portals sind (dieses könnte auch ein massiver starrer Körper sein), gibt es bisher kein Indiz für die Richtigkeit der Stabkräfte, die zum Portal gehören.

Das nachfolgend gelistete Matlab-Script (Download als Portal.m möglich) baut das Gleichungssystem aus den 20 Gleichgewichtsbedingungen auf und löst es:

Die Enttäuschung

Nebenstehend ist die Lösung zu sehen, die das Matlab-Script für das Portal erzeugt hat. Der Vergleich mit den Stabkräften, die mit dem Programm "Statisch bestimmte ebene Fachwerke" berechnet wurden, zeigt kein einziges übereinstimmendes Ergebnis.

Allerdings stimmen die 3 Lagerreaktionen (die drei letzten Werte in der Ergebnisausgabe) mit den interaktiv berechneten und am Gesamtsystem überprüften Werten überein. Aber das sind äußere Kräfte, das "Innere des Portals" ist bei einer der beiden Rechnungen nicht richtig behandelt worden.

Bei der nun erforderlichen Fehlersuche wird man sicher zuerst die spezielle Berechnung des Portals überprüfen, weil hierfür die Anschlusskräfte, die Behandlung der Geometrie, das Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen und die Programmierung des Matlab-Scripts als Fehlerquellen infrage kommen.

Wenn man nach (möglicherweise aufwendigen) Kontrollen der Kontrollrechnung keinen Fehler findet, wird man die Originalrechnung noch einmal überprüfen, und da findet sich die (wirklich nicht seltene) Fehlerursache: Die Rechnung ist zwar richtig, aber es wurde nicht das Modell der Aufgabenstellung behandelt. Die beiden Stäbe 30 und 31 sind nicht so in das Modell eingebunden, wie es die Aufgabenstellung vorsieht:

Aufgabenstellung		Berechnetes Modell

Korrekte Berechnung und ein Geständnis

Nachfolgend ist das korrekte Ergebnis für das Modell der Aufgabenstellung zu sehen, das allen durchgeführten Kontrollrechnungen standhält:

Dass dieses Beipiel zum Thema "Verifizieren von Computerrechnungen" hier so ausführlich behandelt wurde, hat zwei Gründe:

• Es ist ein besonders typischer Fehler, der hier demonstriert wurde. Er entsteht meistens gar nicht durch Oberflächlichkeit bei der Eingabe des Berechnungsmodells, sondern ist eine Folge der vielen Varianten, die bei der Entwicklung einer Konstruktion entstehen und dazu führen, dass schließlich die Berechnung, die Versuchsergebnisse, Bewertungen usw., die für eine Variante entstanden sind, versehentlich auf eine andere Variante übertragen werden.
• Und dann gibt es noch einen sehr persönlichen Grund: Den Autoren ist genau dieser Fehler passiert, und er lässt sich noch so lange nachweisen, wie Exemplare der 3. und 4. Auflage in den Regalen stehen. Dort findet sich auf Seite 78 ein Bildschirm-Schnappschuss der Berechnung des Fachwerks mit zwei Stäben, die in der Aufgabenstellung nicht vorgesehen sind und deshalb die Stabkräfte des Portals verfälschen (in den Auflagen 1, 2 und 5 findet man ein korrektes Bild). Das hat vermutlich niemand bemerkt, und das Geständnis dieses Fehlers an dieser Stelle geschieht in der Annahme, dass auch niemand am Ende einer so ausführlichen Internet-Seite noch diese letzte Bemerkung durchliest.