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Aufgaben zur Kinematik und Kinetik und den Prinzipien der Mechanik

Aufg33_15KoordNach dem Prinzip der virtuellen Arbeit für Potenzialkräfte (vgl. z. B.: "Dankert/Dankert: Technische Mechanik", Seite 624) hat die in Abhängigkeit von der Lage x aufgeschriebene potenzielle Energie des Systems U(x) für Gleichgewichtslagen eine horizontale Tangente. Wenn U(x) ein Minimum annimmt, ist das Gleichgewicht stabil, für Maxima ist das Gleichgewicht instabil.

Das für das Aufschreiben der potenziellen Energie der Walze benötigte Null-Potenzial wird (willkürlich) auf die Höhe der mit x = 0 beschriebenen Lage festgesetzt. Für die in der Feder gespeicherten Energie wird deren jeweilige Länge (in Abhängigkeit von x) benötigt. Aus der Skizze rechts sind die geometrischen Verhältnisse abzulesen. Mit der Länge der entspannten Feder b und der Koordinate x sowie dem von den beiden Strecken eingeschlossenen Winkel 90°-α kann die Federlänge nach dem Kosinussatz berechnet werden:

Aufg29_12lc02

Die Federdehnung ist die Differenz aus lc und der Länge der entspannten Feder b. Die potenzielle Energie des Systems kann nun wie folgt formuliert werden:

Aufg33_15U

Die Extremwerte dieser Funktion kennzeichnen die statischen Gleichgewichtslagen des Systems. Die Rechnung kann z. B. mit Maple wie folgt realisiert werden:

Auf33_15Maple

Das oben gelistete Maple-Worksheet steht als Aufg33_15.mws zum Download zur Verfügung.

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