|
% Ritzsches Verfahren für die Stabknickung: Aufgabe 33.14
clear all
% 11111111111 ANPASSEN AN DAS AKTUELLE PROBLEM VON HIER ... 111111111111111111111111111
% Parameter:
L1 = 250 ;
L2 = 400 ;
L3 = 150 ;
d1 = 8 ;
d3 = 12 ;
L = L1 + L2 + L3 ;
E = 2.1e5 ;
c = 32 ;
cT = 400000 ;
% Ansatzfunktionen und deren 1. und 2. Ableitungen:
m = 5 ; % Anzahl der Ansatzfuntionen (wenn m < 5 gesetzt ...
P1 = [1/L^3 -2/L^2 1/L 0] ; % ... gesetzt wird, werden nur die ersten ...
P2 = [1/L^4 -2/L^3 1/L^2 0 0] ; % ... m Ansatzfunktionen verwendet)
P3 = [1/L^5 -2/L^4 1/L^3 0 0 0] ;
P4 = [1/L^6 -2/L^5 1/L^4 0 0 0 0] ;
P5 = [1/L^7 -2/L^6 1/L^5 0 0 0 0 0] ;
% 11111111111 ... BIS HIER 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
P1D = polyder (P1);
P2D = polyder (P2);
P3D = polyder (P3);
P4D = polyder (P4);
P5D = polyder (P5);
P1DD = polyder (P1D) ;
P2DD = polyder (P2D) ;
P3DD = polyder (P3D) ;
P4DD = polyder (P4D) ;
P5DD = polyder (P5D) ;
% ------------------------------------------------------------------------------------
% Vorbereitung der numerischen Integration und der Ergebnisauswertung:
n = 100 ; % Anzahl der Abschnitte für numerische Integration
dz = L / n ; % Breite eines Integrationsintervalls
nS = n + 1 ; % Anzahl der Stützstellen
zS = 0 : dz : L ; % Koordinaten der Stützpunkte
EIS = zeros (nS , 1) ;
FNQ = zeros (nS , 1) ;
% 22222222222222 ANPASSEN AN DAS AKTUELLE PROBLEM VON HIER ... 222222222222222222222222
kc = round (n*L1/L + 1) ; % Angriffspunkt der Feder
kcT = 1 ; % Angriffspunkt der Drehfeder
k23 = round (n*(L1+L2)/L + 1) ; % Übergang Bereich 2 zu 3
d = zeros (nS , 1) ;
d(1 :kc ) = d1 ;
d(kc :k23) = d1 : (d3-d1)/(k23-kc) : d3 ;
d(k23:nS ) = d3 ;
EIS(1:nS) = E*pi*d.^4/64 ; % Biegesteifigkeit
FNQ(1:nS) = 1 ; % Normalkraft/(Kritische Last)
% 22222222222222 ... BIS HIER 222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
% Funktionswerte und 1. und 2. Ableitung der Ansatzfunktionen an den Stützstellen
vS (:,1) = polyval (P1 , zS)' ;
vS (:,2) = polyval (P2 , zS)' ;
vS (:,3) = polyval (P3 , zS)' ;
vS (:,4) = polyval (P4 , zS)' ;
vS (:,5) = polyval (P5 , zS)' ;
vdS (:,1) = polyval (P1D , zS)' ;
vdS (:,2) = polyval (P2D , zS)' ;
vdS (:,3) = polyval (P3D , zS)' ;
vdS (:,4) = polyval (P4D , zS)' ;
vdS (:,5) = polyval (P5D , zS)' ;
vddS(:,1) = polyval (P1DD , zS)' ;
vddS(:,2) = polyval (P2DD , zS)' ;
vddS(:,3) = polyval (P3DD , zS)' ;
vddS(:,4) = polyval (P4DD , zS)' ;
vddS(:,5) = polyval (P5DD , zS)' ;
subplot(211) ; plot(zS , vS(:,1:m)) ; grid ; title('Ansatzfunktionen') ;
% ------------------------------------------------------------------------------------
% Aufbau des allgemeinen Matrizen-Eigenwertproblems:
K = zeros (m , m) ;
B = zeros (m , m) ;
for ii = 1:m % Schleife über alle Gleichungen
for jj = 1:m % ii-te Zeile (Koeffizienten kij)
Summe1 = EIS(1)*vddS(1,ii)*vddS(1,jj) + EIS(nS)*vddS(nS,ii)*vddS(nS,jj) ;
Summe2 = FNQ(1)*vdS (1,ii)*vdS (1,jj) + FNQ(nS)*vdS (nS,ii)*vdS (nS,jj) ;
faktor = 4 ; % Numerische Integration ...
for k = 2:n % ... nach Simpsonscher Regel ...
Summe1 = Summe1 + EIS(k) * vddS(k,ii) * vddS (k,jj) * faktor ;
Summe2 = Summe2 + vdS (k,ii) * vdS (k,jj) * faktor ;
if (faktor == 4) faktor = 2 ;
else faktor = 4 ;
end ;
end
% 44444444444444 ANPASSEN AN DAS AKTUELLE PROBLEM VON HIER ... 4444444444444444444444444
K(ii,jj) = Summe1*dz/3 + c*vS(kc,ii)*vS(kc,jj) + cT*vdS(kcT,ii)*vdS(kcT,jj) ;
% 44444444444444 ... BIS HIER ... 444444444444444444444444444444444444444444444444444444
B(ii,jj) = Summe2*dz/3 ;
end
end
% Lösen des allgemeinen Eigenwertproblems:
[V D] = eig (K , B) ;
[Fkr , index] = min(diag(D)) ;
FKritisch = Fkr
vSchlange = vS(:,1:m) * V(1:m,index) ; % Knickfigur zum kleinsten Eigenwert
subplot(212) ; plot(zS , vSchlange) ; grid ; title('Knickfigur') ;
|
Aufgabenstellung b) wird realisiert, indem in dem oben gelisteten Matlab-Script die entsprechenden Parameter geändert werden (nebenstehendes Bild, beide Durchmesser wurden auf den Wert von d1 gesetzt).
Allerdings versagt dann die Zeile 55 mit der Zuweisung der Durchmesserwerte für den mittleren Bereich:
Das Ergebnis (nebenstehend im Command Window) zeigt eine vorzügliche Übereinstimmung mit dem
exakten Wert (bemerkenswert, weil die exakte Knickfigur durch trigonometrische Funktionen beschrieben wird, die hier durch den Polynomansatz genähert werden). Der entsprechende Eulerfall
liefert (vgl. z. B. “Dankert/Dankert: Technische Mechanik”, Seiten 390/391)
Aufgabenstellung c) wird realisiert, indem abweichend von der Modifikation zur Aufgabenstellung b) für die Drehfederzahl z. B. der Wert cT = 1010 Nmm gesetzt wird.
