Die Gesamtlänge des Trägers  L = a+b wird in nA Abschnitte gleicher Breite  h = L/nA  unterteilt. Im Inneren des Trägers entstehen bei dieser Diskretisierung n = nA-1 Punkte, für die die Differenzengleichungen aufgeschrieben werden müssen. Dabei gehen am linken Rand die Verschiebungen der Punkte 0 und -1 und am rechten Rand die Verschiebungen der Punkte n+1 und n+2 in die Gleichungen ein.

Im Skript “Biegeschwingungen gerader Träger” wird ausführlich beschrieben, wie das allgemeine Eigenwertproblem

mit symmetrischen Bandmatrizen aufgebaut wird. Die beiden ersten und die beiden letzten Gleichungen beziehen sich auch auf die Punkte auf dem Rand und außerhalb des Trägers:

Die Funktionswerte auf dem Rand und für die Außenpunkte sollen mit den Randbedingungen eliminiert werden. Die Randbedingungen lauten hier:

Einsetzen in die Differenzengleichungen für die beiden ersten und die beiden letzten Punkte liefert:

Damit sehen die Matrix A und ihre Speichervariante als symmetrische Bandmatrix so aus:

Die Matrix B ist für konstante Massebelegung eine Einheitsmatrix, die in diesem Fall nur durch ein Matrixelement gestört ist. Im Skript “Biegeschwingungen gerader Träger” wird gezeigt, dass nur das Diagonalelement mit der Nummer i_m des Punktes, auf dem die Masse m sitzt, durch

ersetzt werden muss.

Das nebenstehende Matlab-Script realisiert diese Berechnungen. In das Command Window werden die drei kleinsten Eigenfrequenzen ausgegeben, die bei einer Einteilung der Trägerlänge in 1400 Abschnitte praktisch exakt sind:

In ein separates Graphik-Fenster werden die Eigenschwingungsformen gezeichnet: