% Ritzsches Verfahren: Biegeschwingungen gerader Traeger mit Polynom-Ansatzfunktionen, % Aufgabe 32-8.
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% 11111111111 ANPASSEN AN DAS AKTUELLE PROBLEM VON HIER ... 111111111111111111111111111 % Parameter: tl = 1 ; EI = 3000 ; rhoA = 3 ; mk = 2 ;
% Ansatzfunktionen und deren 1. und 2. Ableitungen: m = 5 ; tlh = tl/2 ; % Anzahl der Ansatzfuntionen (wenn m < 5 gesetzt ...
P1 = [1/tlh^3 -1/tlh^2 0 0] ; % ... wird, werden nur die ersten ... P2 = [1/tlh^4 -1/tlh^3 0 0 0] ; % ... m Ansatzfunktionen verwendet) P3 = [1/tlh^5 -1/tlh^4 0 0 0 0] ;
P4 = [1/tlh^6 -1/tlh^5 0 0 0 0 0] ; P5 = [1/tlh^7 -1/tlh^6 0 0 0 0 0 0] ; % 11111111111 ... BIS HIER 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
P1D = polyder (P1);
P2D = polyder (P2); P3D = polyder (P3); P4D = polyder (P4); P5D = polyder (P5);
P1DD = polyder (P1D) ; P2DD = polyder (P2D) ; P3DD = polyder (P3D) ; P4DD = polyder (P4D) ;
P5DD = polyder (P5D) ;
% ------------------------------------------------------------------------------------ % Vorbereitung der numerischen Integration und der Ergebnisauswertung:
n = 100 ; % Anzahl der Abschnitte für numerische Integration dz = tl / n ; % Breite eines Integrationsintervalls
nS = n + 1 ; % Anzahl der Stützstellen zS = 0 : dz : tl ; % Koordinaten der Stützpunkte
EIS = zeros (nS , 1) ;
rhoAS = zeros (nS , 1) ;
% 22222222222222 ANPASSEN AN DAS AKTUELLE PROBLEM VON HIER ... 222222222222222222222222 EIS(1:nS) = EI ; % Konstante Biegesteifigkeit und ...
rhoAS(1:nS) = rhoA ; % ... konstante Massebelegung % 22222222222222 ... BIS HIER 222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
% Funktionswerte und 1. und 2. Ableitung der Ansatzfunktionen an den Stützstellen vS (:,1) = polyval (P1 , zS)' ; vS (:,2) = polyval (P2 , zS)' ; vS (:,3) = polyval (P3 , zS)' ;
vS (:,4) = polyval (P4 , zS)' ; vS (:,5) = polyval (P5 , zS)' ; vdS (:,1) = polyval (P1D , zS)' ; vdS (:,2) = polyval (P2D , zS)' ; vdS (:,3) = polyval (P3D , zS)' ;
vdS (:,4) = polyval (P4D , zS)' ; vdS (:,5) = polyval (P5D , zS)' ; vddS(:,1) = polyval (P1DD , zS)' ; vddS(:,2) = polyval (P2DD , zS)' ; vddS(:,3) = polyval (P3DD , zS)' ;
vddS(:,4) = polyval (P4DD , zS)' ; vddS(:,5) = polyval (P5DD , zS)' ;
subplot(m+1,1,1) ; plot(zS , vS(:,1:m)) ; grid ; title('Ansatzfunktionen:') ;
% ------------------------------------------------------------------------------------ % Aufbau des allgemeinen Matrizen-Eigenwertproblems: K = zeros (m , m) ; M = zeros (m , m) ;
for ii = 1:m % Schleife über alle Gleichungen
for jj = 1:m % ii-te Zeile (Koeffizienten kij)
Summe1 = EIS (1)*vddS(1,ii)*vddS(1,jj) + EIS (nS)*vddS(nS,ii)*vddS(nS,jj) ; Summe2 = rhoAS(1)*vS (1,ii)*vS (1,jj) + rhoAS(nS)*vS (nS,ii)*vS (nS,jj) ;
faktor = 4 ; % Numerische Integration ...
for k = 2:n % ... nach Simpsonscher Regel ...
Summe1 = Summe1 + EIS (k) * vddS(k,ii) * vddS (k,jj) * faktor ; Summe2 = Summe2 + rhoAS(k) * vS (k,ii) * vS (k,jj) * faktor ;
if (faktor == 4) faktor = 2 ;
else faktor = 4 ; end ; end
% 33333333333333 ANPASSEN AN DAS AKTUELLE PROBLEM VON HIER ... 3333333333333333333333333 K(ii,jj) = Summe1*dz/3 ; M(ii,jj) = Summe2*dz/3 + mk*vS(nS,ii)*vS(nS,jj) ;
% 33333333333333 ... BIS HIER ... 333333333333333333333333333333333333333333333333333333 end end
% Lösen des allgemeinen Eigenwertproblems: [V D] = eig (K , M) ;
for i=1:m
f(i) = sqrt(D(i,i)) / (2*pi) ; end [f , Index] = sort(f) ; if (m > 3) mm = 3 ; else mm = m ; end ; % Maximal 3 Eigenfrequenzen ausgeben ... Eigenfrequenzen = f(1:mm)
z = 0 : tl/n : tl ; for i = 1:mm % ... bzw. Eigenschwingungsformen zeichnen
v = vS(:,1:m) * V(:,Index(i)) ; subplot (mm+1,1,i+1) ; plot (z , v) , grid on , ...
title (strcat(num2str(i),'. Eigenschwingungsform:')) ; end
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