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Aufgabenstellung a (ohne Bettung):

Die nachfolgend verwendeten Differenzialgleichungen und Formeln für Biegemoment und Querkraft findet man mit Erläuterungen auf der Seite "Biegelinie für den geraden Träger, Zusammenstellung der Formeln".

Mit den in der Skizze zu sehenden Koordinaten z₁ und z₂ lauten die Differenzialgleichungen für den linken Bereich

und für den rechten Bereich:

Die allgemeine Lösung findet man jeweils durch viermaliges Integrieren. Für den linken Abschnitt erhält man:

Die allgemeine Lösung für den rechten Abschnitt lautet:

Für die Bestimmung der 8 Integrationskonstanten müssen 8 Rand- und Übergangsbedingungen formuliert werden (für die Bedingungen 5 und 6 vgl. nebenstehende Skizze der Kräfte und Momente an der Übergangsstelle):

Diese liefern ein lineares Gleichungssystem für die Berechnung der Konstanten C₁ ... C₈:

Das nachfolgend gelistete MATLAB-Script löst das Gleichungssystem und wertet danach die Funktionen für die Durchbiegung, das Biegemoment

und die Querkraft

aus:

% Aufgabe 19-10a

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a  = 500  ;
b  = 700  ;
EI1 = 6e9  ;
EI2 = 8e10 ;
M  = 800000 ;
c  = 800  ;
q  = 10   ;

A = [  0     0    0 1    0        0     0   0  ;
       0     0    1 0    0        0     0   0  ;
     a^3/6 a^2/2  a 1    0        0     0   -1  ;
     a^2/2   a    1 0    0        0   -1   0  ;
       a     1    0 0    0    -EI2/EI1  0   0  ;
     -1     0    0 0  EI2/EI1     0     0 c/EI1 ;
       0     0    0 0    -b      -1     0   0  ;
       0     0    0 0  b^3/6    b^2/2   b   1  ] ;

B = [0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; (M+q*b^2/6)/EI2 ; -q*b^4/(120*EI2)] ; 

C = A \ B ;

n  = 1200 ;
z  = 0 : (a+b)/n : a+b ;
v  = zeros(n+1,1) ;
Mb = zeros(n+1,1) ;
FQ = zeros(n+1,1) ;

for i=1:n+1
   if z(i) <= a
       v(i)  = C(1)*z(i)^3/6+C(2)*z(i)^2/2+C(3)*z(i)+C(4) ;
       Mb(i) = -EI1*(C(1)*z(i)+C(2)) ;
       FQ(i) = -EI1*C(1) ;
   else
       z2    = z(i)-a ;
       v(i)  = q*z2^5/(120*EI2*b)+C(5)*z2^3/6+C(6)*z2^2/2+C(7)*z2+C(8) ;
       Mb(i) = -EI2*(q*z2^3/(6*EI2*b)+C(5)*z2+C(6)) ;
       FQ(i) = -EI2*(q*z2^2/(2*EI2*b)+C(5)) ;
   end
end
  
subplot (3,1,1) ; plot (z , v) , grid on , title ('Biegelinie') , axis ij
subplot (3,1,2) ; plot (z , Mb) , grid on , title ('Biegemoment')
subplot (3,1,3) ; plot (z , FQ) , grid on , title ('Querkraft')

iFeder     = round(n*a/(a+b)+1) ;
vFeder     = v(iFeder)
MbLinks    = Mb(1)
MbFeder    = Mb(iFeder)
Mbmax      = max(abs(Mb))
FQLinks    = FQ(1)
Federkraft = c*vFeder

Nachfolgend sind das Command Window mit den wesentlichen Ergebnissen und die Funktionsverläufe im Graphik-Fenster zu sehen:

Die oben gelistete M-Datei ist als Aufg19_10a.m zum Download verfügbar.

www.DankertDankert.de