Aufgabe

Der skizzierte ebene Rahmen besteht aus biege- und dehnsteifen geraden Trägern, die starr miteinander verbunden sind. Zu berechnen sind die Verformungen (Verschiebungen und Biegewinkel aller Knoten), die Schnittgrößenverläufe (Biegemoment, Querkraft, Normalkraft) und die Lagerreaktionen.

Daten des Berechnungsmodells:

• Knotenlasten: F₄ = 100 kN  ;  M₆ = 200 kNm  ;  M₇ = 200 kNm  .
• Konstante Linienlast zwischen Knoten 4 und 5 mit der Intensität  q₄ = q₅ = 25 kN/m, linear veränderliche Linienlast zwischen den Knoten 1 und 3 mit  q₁ = 30 kN/m  und  q₃ = 10 kN/m.
• Für alle Träger gilt: Elastizitätsmodul E = 200000 N/mm² ; Querschnittsfläche A = 10000 mm² ; Flächenträgheitsmoment I = 10⁸ mm⁴.
• Lagerung: Festlager (beide Verschiebungen verhindert) am Knoten 1, starre Einspannungen (beide Verschiebungen und Verdrehung verhindert) an den Knoten 8 und 11.
• Die Knotenkoordinaten bezüglich des x-y-Systems im linken unteren Knoten findet man in der nachstehenden Tabelle:

Das System ist äußerlich 5-fach und insgesamt 17-fach statisch unbestimmt und entzieht sich damit jedem Versuch, per "Handrechnung" auch nur Teilergebnisse ermitteln zu wollen. Die Aufgabe wird im Kapitel "Verifizieren von Computerrechnungen" behandelt.

Interaktive Berechnung

Die Aufgabe wird mit dem Programm "Biege- und dehnsteife Rahmen (FEM)" gelöst, das unter www.TM-interaktiv.de angeboten wird. Alle gegebenen Größen werden auf die Dimensionen N und mm umgerechnet (dann erhält man auch die Ergebnisse in diesen Dimensionen). Nach Eingabe des Modells ...

... und Anklicken des Button "Berechne" sieht man sechs Ergebnis-Graphiken und rechts die Knotenverformungen einiger Elemente ...

... und kann sich weitere Ergebnisse anzeigen lassen und einzelne Graphiken vergrößern, zum Beispiel das verformte System ...

... oder die Schnittgrößen (hier: Biegemomentenverlauf) ...

... und die Lagerreaktionen:

Gleichgewichts-Kontrolle

Die Schnittgrößen und die Lagerreaktionen bieten eine umfangreiche Möglichkeit zur Kontrolle der Ergebnisse. Ein beliebiger Schnitt, der den Rahmen in zwei Teilsysteme zerlegt, kann zur Kontrolle des Gleichgewichts der äußeren Kräfte mit den berechneten Schnittgrößen genutzt werden.

Natürlich muss auch das Gleichgewicht der äußeren Lasten mit den Lagerreaktionen erfüllt sein. Im Kapitel "Verifizieren von Computerrechnungen" wird dies für die besonders einfach zu überprüfende Bedingung "Summe aller Vertikalkräfte" bestätigt: Die konstante Linienlast zwischen den Knoten 4 und 5 hat die Resultierende

(nach unten gerichtet). Die Summe der Vertikalkomponenten der Lagerreaktionen liefert (positiv nach oben) den gleichen Wert:

Verifizieren mit einem Ersatzsystem

Weil weitere Gleichgewichtskontrollen etwas mühsam sind, wird im Kapitel "Verifizieren von Computerrechnungen" empfohlen, die Gleichgewichtsbedingungen mit einem Ersatzsystem zu überprüfen, z. B. so: Man ersetzt die Lager an den Knoten 1, 8 und 11 durch die berechneten Lagerreaktionen und lagert das System statisch bestimmt mit einem Loslager (an Stelle der Kraft F₄) und einem Festlager am Knoten 9 (nebenstehende Abbildung).

Neben den in der Aufgabenstellung gegebenen Belastungsgrößen M₆ = 2·10⁸ Nmm, M₇ = 2·10⁸ Nmm, q₄ = q₅ = 25 N/mm, q₁ = 30 N/mm und q₃ = 10 N/mm werden die für das Originalsystem berechneten Lagerreaktionen als Belastungen angesetzt:

    

Die Berechnung der Lagerreaktionen für dieses Ersatzsystem muss dann den Wert für F₄ am Loslager und zwei Nullkomponenten für das Festlager am Knoten 9 ergeben.

Nachfolgend sieht man die Definition des Ersatzsystems im Programm "Biege- und dehnsteife Rahmen (FEM)":

Dieses äußerlich statisch bestimmt gelagerte System liefert natürlich ein völlig anderes Verformungsbild:

Dem Verformungsbild kann man (wie dem Verformungsbild des Originalsystems) nur entnehmen, dass es qualitativ in dieser Form zu erwarten war.

Die Lagerreaktionen aber liefern ein Indiz für die Richtigkeit beider Rechnungen:

Die geringfügigen Abweichungen von den zu erwartenden Werten sind natürlich unvermeidbar, weil als Belastungen nur die gerundeten Ergebnisse der Berechnung des Originalsystems eingegeben werden konnten. Die Abweichung der Lagerreaktion des Loslagers am Knoten 4 beträgt allerdings 0,00003%, und auch die Werte, die sich für das Festlager am Knoten 9 ergeben, dürfen im Verhältnis zur Größenordnung der Belastungen als "Null-Werte" angesehen werden.