Aufgabe

Der skizzierte Träger mit Rechteckquerschnitt (konstante Höhe, linear veränderliche Breite) ist nur durch sein Eigengewicht belastet.

Mit dem Differenzenverfahren ist näherungsweise die Durchbiegung bei Annahme eines Breitenverhältnisses λ = 2 zu berechnen.

Der Träger wird in n_A äquidistante Abschnitte eingeteilt (nebenstehend ist eine Einteilung in n_A = 100 Abschnitte angedeutet), dabei entstehen n =  n_A+5 Punkte, für die die Differenzenformeln aufgeschrieben werden müssen.

Im Kapitel "Computer-Verfahren für Biegeprobleme" des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" findet man die Differenzenformeln für Biegeträger mit veränderlicher Biegesteifigkeit EI:

Darin ist EI_A eine beliebig zu wählende Bezugs-Biegesteifigkeit, für die hier die Biegesteifigkeit am Lager A gewählt wurde.

Mit der linear veränderlichen Breite

werden auch die Linienlast

(Trapezlast, Skizze) und die Biegesteifigkeit

linear veränderlich. Die für die linken Seiten der Differenzenformeln benötigten Werte können also in der Form

aufgeschrieben werden. Für den Ausdruck auf der rechten Seite berechnet man:

Damit können die Differenzengleichungen für alle Innenpunkte des Trägers aufgeschrieben werden (bei n_A = 100 also für die Punkte 3 bis 103). Hinzu kommen 4 Gleichungen für die Randbedingungen. Für den linken Rand (momentenfreies Lager) gilt:

Für die Einspannung am rechten Rand (Punkt n−2) gilt:

Aufbau und Lösung des Gleichungssystems

Nach dem Start des Programms Lineares Gleichungssystem mit Bandmatrix wird zunächst der Parameter λ als Konstante lambda definiert. Weil bei Aufgaben dieser Art immer gleich daran gedacht werden sollte, Anschlussrechnungen mit feinerer Diskretisierung durchzuführen, wird n_A als Konstante nA definiert. Ihr wird der Wert 100 zugewiesen. Der nebenstehende Bildschirm-Ausschnitt zeigt die bereits definierte Konstante lambda (neben den vordefinierten Konstanten π und e unmittelbar vor dem Klicken auf den Button "Neue Konstante".

Die gerade definierte Konstante wird verwendet, um die Anzahl der Gleichungen als n = n_A+5 festzulegen. Bei den Bandweiten kommt man bei diesem Problem mit 3 Elementen nach links und rechts (einschließlich Hauptdiagonalelement) aus:

Nach Anklicken des "OK"-Buttons ändert sich das Eingabeschema entsprechend, und das Gleichungssystem kann eingegeben werden. Für Aufgaben dieser Art ist eine effektive Unterstützung vorgesehen. Nach Anklicken des Buttons "Automatischer Aufbau des Bandes" wird folgende Offerte unterbreitet:

Hier müssen für die 5 Koeffizienten der oben angegebenen Differenzengleichung die Formeln eingetragen werden, also μ_i−1, −2(μ_i−1+μ_i), (μ_i−1+4μ_i+μ_i+1), −2(μ_i+μ_i+1), μ_i+1. Für die μ_i gilt die oben angegebene Formel, die neben den als Konstanten definierten Werten λ und n_A auch die Gleichungsnummer i enthält. Dafür kann die im Programm verfügbare Zeilennummer z_nr verwendet werden, so dass zum Beispiel für μ_i der Ausdruck 1+(lambda−1)*(z_nr-3)/nA eingegeben werden kann, dementsprechend für μ_i−1 der Ausdruck 1+(lambda−1)*(z_nr-4)/nA und für μ_i+1 der Ausdruck 1+(lambda−1)*(z_nr-2)/nA:

Das Angebot, diese Formeln für die Zeilen 3 bis 103 zu übernehmen, wird akzeptiert. Nach Anklicken von "Werte übernehmen" werden diese Zeilen in der Koeffizientenmatrix aufgebaut.

Für die rechte Seite des Gleichungssystems wurde oben bereits die Formel

bereitsgestellt. Der konstante Faktor q_Al^4/(EI_A), der in allen Elementen der rechten Seite vorkommt, wird weggelassen, weil dafür ohnehin keine Zahlenwerte verfügbar sind (man muss sich das Ergebnis dann mit diesem Faktor multipliziert denken). Der verbleibende Anteil kann als [1+(lambda−1)*(z_nr-3)/nA]/nA^4 eingegeben werden. Man wählt also "Automatischer Aufbau der rechten Seite" und gibt dies ein:

Auch hier kann das Angebot, diese Formeln für die Elemente 3 bis 103 zu übernehmen, akzeptiert werden. Nach Anklicken von "Werte übernehmen" wird der Vektor der rechten Seite aufgebaut.

Schließlich müssen noch die Randbedingungen eingebaut werden. Die Randbedingungen am linken Rand (v₃ = 0  und  v₂ − 2v₃ + v₄= 0) werden als Gleichungen 1 bzw. 2 eingefügt. Der obere Teil des Gleichungssystems sieht dann so aus:

Die Randbedingungen am rechten Rand (v₁₀₃ = 0  und  −v₁₀₂ + v₁₀₄= 0) werden als letzte Gleichungen eingefügt. Dafür muss zunächst der untere Teil des Gleichungssystems sichtbar gemacht werden, indem die entsprechenden Gleichungsnummern in die Felder oberhalb des Eingabeschemas ("Anzeigen des Systems von ... bis ...") eingetragen werden und "Diese Einstellungen übernehmen" angeklickt wird. Die Randbedingung v₁₀₃ = 0 muss als letzte Gleichung eingetragen werden, weil die andere Bedingung (wegen der engen Bandweiten) nur als vorletzte Bedingung ausreichend Platz findet. Der sichtbare Teil des Eingabeschemas sieht dann zum Beispiel so aus:

Nun kann der grüne Button "Gleichungssystem lösen" angeklickt werden, und das Ergebnis erscheint (es ist der "große Vektor" hier am rechten Rand). Die x_i-Werte sind "dimensionslose Verschiebungen", die noch mit dem Faktor q_Al^4/(EI_A) multipliziert werden müssen, um zu den Vertikalverschiebungen x_i zu werden.

Als Referenz für die Genauigkeit der Rechnung kann die Durchbiegung in der Trägermitte verwendet werden, für die im Kapitel "Computer-Verfahren für Biegeprobleme" des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" der exakte (analytisch berechnete) Wert angegeben wird: x_exakt(l/2) = 0,004769868 muss verglichen werden mit dem numerisch berechneten Wert x₅₃ = 0,004771756. Die Übereinstimmung ist sehr gut. Weil ein solcher Vergleichswert in der Regel nicht verfügbar ist, sollte man die Rechnung immer mit einer feineren Diskretisierung wiederholen. Dies ist mit geringem Aufwand realisierbar. Neben dem Ergebnisvektor erscheint automatisch folgendes Angebot:

Weil der Wert für die Konstante nA dafür ohnehin geändert werden muss (kommt in den allen eingegebenen Ausdrücken vor), gibt man diese Konstante im Eingabefeld links oben einfach noch einmal (mit dem geänderten Wert, z. B. nA = 1000) ein. Danach werden durch Klick auf den Button "Neue Rechnung starten" folgende Aktionen ausgelöst:

• Automatischer Aufbau des neuen Gleichungssystems, wobei die beiden ersten und die beiden letzten Gleichungen ungeändert übernommen werden. Der Mittelteil des Gleichungssystems wird entsprechend dem letzten automatischen Aufbau mit geänderter Anzahl von Zeilen gefüllt.
• Das neue Gleichungssystem wird im Eingabeschema dargestellt und sofort auch gelöst. Die Ergebnisse werden angezeigt.

Die nachfolgende Tabelle zeigt die Ergebnisss von mehreren Rechnungen mit unterschiedlich feiner Diskretisierung. Man erkennt, dass sich der Referenzwert (Durchbiegung in Trägermitte) immer mehr dem exakten Wert annähert.

Anzahl der Abschnitte nA	Anzahl der Gleichungen n	Dimensionslose Durchbiegung in Tägermitte
100	105	x53  =  0,004771756
200	205	x103  =  0,004770340
500	505	x253  =  0,004769944
1000	1005	x503  =  0,004769888
5000	5005	x2503  =  0,004769873
Exakter Wert (analytische Lösung)		xexakt  =  0,004769868