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- Lösung mit dem Differenzenverfahren und TM-interaktiv -
Aufgabe
Für den skizzierten Träger soll die Durchbiegung näherungsweise mit dem Differenzenverfahren berechnet werden.
Gegeben:
l1 = 1200 mm ;
EI1 = 2,5 kNm2 ;
c1 = 50 N/mm ;
l2 = 1300 mm ;
EI2 = 5 kNm2 ;
c2 = 250 N/mm ;
cT = 5 kNm ;
q1 = 1,3 N/mm ;
F = 800 N ;
M = 250 Nm .
Lösung mit dem Differenzenverfahren
Im Kapitel "Computer-Verfahren für Biegeprobleme" des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird gezeigt, dass bei einer Einteilung des Trägers in 25 äquidistante Abschnitte das folgende Gleichungssystem entsteht:
Nach dem Start des Programms Lineares Gleichungssystem mit Bandmatrix (zu finden unter "TM-interaktiv") wird zunächst die Anzahl der Gleichungen als n = 30 eingestellt (die voreingestellten Bandweiten werden beibehalten):
Nach Anklicken des "OK"-Buttons ändert sich das Eingabeschema entsprechend (angezeigt werden zunächst nur die ersten 10 Gleichungen), und das Gleichungssystem kann eingegeben werden. Weil das Band in zwei Bereichen einen regelmäßigen Aufbau hat, wird die dafür vorgesehene Unterstützung der Eingabe genutzt. Nach Anklicken des Buttons "Automatischer Aufbau des Bandes" wird die Offerte unterbreitet, die Zeilen 3 bis 28 des Bandes der Koeffizientenmatrix aufzubauen. Dies muss auf die Zeilen 3 bis 13 reduziert werden:
Mit Klick auf den Button "Werte übernehmen" füllen sich die Zeilen 3 bis 13. Für den zweiten Bereich mit regelmäßigem Aufbau (Zeilen 17 bis 28) wird wieder nach Klick auf "Automatischer Aufbau des Bandes" das Schema entsprechend geändert:
Nach Klick auf "Werte übernehmen" ist das Ergebnis der Eingabe zwar noch nicht zu sehen, aber die entsprechenden Matrixzeilen sind aufgebaut. Die übrigen Werte der Koeffizientenmatrix werden "per Hand" eingegeben, zunächst die beiden ersten Zeilen (einschließlich der -1 auf der ersten Position im Vektor der rechten Seite), so dass der angezeigte Bereich des Eingabeschemas so aussieht:
Um den mittleren Bereich der Matrix (Zeilen 14 bis 16) zu füllen, wird die Einstellung der anzuzeigenden Gleichungen (zum Beispiel auf 13 bis 17) geändert. Nach Klick auf "Diese Einstellung übernehmen" werden die Gleichungen 14 bis 16 (einschließlich der 0,32 auf der Position 15 im Vektor der rechten Seite) eingegeben:
Um die beiden letzten Gleichungen einzugeben, wird der anzuzeigende Bereich wieder geändert. Nach Eingabe dieser Gleichungen sieht dieser Teil des Eingabeschemas so aus:
Nun müssen noch die Positionen 16 bis 28 im Vektor der rechten Seite gefüllt werden. Dies lässt sich auch automatisch erledigen, indem man die Variable z_nr benutzt, die jeweils die aktuelle Zeile kennzeichnet. Man verifiziert leicht, dass der Ausdruck (z_nr−15)*0.004 auf die Positionen 16 bis 28 genau die dort zu platzierenden Werte einträgt. Man klickt also auf "Automatischer Aufbau der rechten Seite" und füllt das Schema folgendermaßen aus:
Nach Anklicken von "Werte übernehmen" werden diese Formeln in die entsprechenden Positionen der rechten Seite übernommen. Ob die Formel richtig ist, kann man mit Klick auf "Eingabeschema sperren und Werte berechnen" überprüfen. Links sieht man einen Ausschnitt mit dieser Variante der Anzeige. Man erkennt, dass die Formel wie erwartet ausgewertet wurde.
Nach Anklicken von "Gleichungssystem lösen" erscheint das Ergebnis, das man rechts sieht.
Als Referenzwert für die Genauigkeit des Ergebnisses mag der Wert am Gelenkpunkt (Angriffspunkt der Einzelkraft) dienen. Dies ist der Punkt 15, für den x15 = 4,977156 berechnet wurde. In diesem Fall kann mit dem exakten Wert (nach der klassischen Biegeträgertheorie) verglichen werden. Diesen erhält man über beide Links, die unten angeboten werden (analytische Lösung und FEM-Rechnung). Vom exakten Wert x15exakt = 4,982613 weicht der hier berechnete Näherungswert nur um 0,1% ab.
Vergleich mit anderen Lösungen
Die gleiche Aufgabe wurde auch analytisch und mit der Finite-Elemente-Methode gelöst. Klicken auf die nachstehenden Bilder führt zu den entsprechenden Seiten:
 Analytische Lösung |
 Lösung interaktiv (www.TM-interaktiv.de) mit der Finite-Elemente-Methode |
